登录
10. 若以二元一次方程$x+2y - b = 0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=-\dfrac{1}{2}x + b -1$上，则$b=$（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
B
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
10.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二元一次方程和一次函数的对应关系：以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的一次函数图象上，若两个表达式对应同一条直线，化为斜截式后的一次项系数和常数项会分别相等。因此我们先把给定的二元一次方程整理为$y=kx+c$的斜截式，再和题目给出的直线表达式对比，令常数项相等即可求解$b$的值。
【解析】
首先将二元一次方程$x+2y - b = 0$变形为用$x$表示$y$的形式：
移项得：$2y = -x + b$
两边同时除以2得：$y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{b}{2}$
已知以方程$x+2y - b = 0$的解为坐标的点都在直线$y=-\dfrac{1}{2}x + b -1$上，说明两个表达式表示同一条直线，因此它们的常数项相等，可得：
$\dfrac{b}{2} = b - 1$
解这个一元一次方程：
移项得：$\dfrac{b}{2} - b = -1$
合并同类项得：$-\dfrac{b}{2} = -1$
两边同时乘以$-2$得：$b = 2$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系、一次函数斜截式、解一元一次方程
【点评】
本题核心考查二元一次方程与一次函数的对应关系，解题关键是掌握同一直线的解析式化为斜截式后对应系数相等的规律，整体考查偏基础，理清两者的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确二元一次方程和一次函数的对应关系：以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的一次函数图象上，若两个表达式对应同一条直线，化为斜截式后的一次项系数和常数项会分别相等。因此我们先把给定的二元一次方程整理为$y=kx+c$的斜截式，再和题目给出的直线表达式对比，令常数项相等即可求解$b$的值。
【解析】
首先将二元一次方程$x+2y - b = 0$变形为用$x$表示$y$的形式：
移项得：$2y = -x + b$
两边同时除以2得：$y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{b}{2}$
已知以方程$x+2y - b = 0$的解为坐标的点都在直线$y=-\dfrac{1}{2}x + b -1$上，说明两个表达式表示同一条直线，因此它们的常数项相等，可得：
$\dfrac{b}{2} = b - 1$
解这个一元一次方程：
移项得：$\dfrac{b}{2} - b = -1$
合并同类项得：$-\dfrac{b}{2} = -1$
两边同时乘以$-2$得：$b = 2$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系、一次函数斜截式、解一元一次方程
【点评】
本题核心考查二元一次方程与一次函数的对应关系，解题关键是掌握同一直线的解析式化为斜截式后对应系数相等的规律，整体考查偏基础，理清两者的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
11. 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ (2k+1)x - y=3\end{cases}$无解，则直线$y=-(k+3)x -k$不经过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二元一次方程组无解的几何意义：方程组对应的两个一次函数图象平行，即斜率相等且截距不相等。我们先把方程组的两个方程转化为一次函数形式，根据平行的条件求出k的值，再将k代入待判断的直线解析式，最后根据一次函数斜率和截距的符号判断直线经过的象限，就能得出结果。
【解析】
1. 将方程组中两个方程变形为一次函数$y=kx+b$的形式：
由$x+y=1$得：$y=-x+1$；
由$(2k+1)x - y=3$得：$y=(2k+1)x - 3$。
2. 因为方程组无解，所以两条直线平行，斜率相等、截距不等：
列等式求k：$2k+1=-1$，
解得$k=-1$，验证截距$1≠ -3$，符合平行条件。
3. 把$k=-1$代入直线$y=-(k+3)x -k$：
$y=-(-1+3)x - (-1) = -2x + 1$。
4. 判断直线$y=-2x+1$经过的象限：
斜率$-2＜0$，直线从左到右下降；截距$1＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查二元一次方程组解的情况和一次函数的图象性质，解题关键是理解方程组无解对应两直线平行，求出参数k后即可结合一次函数图象规律判断象限，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确二元一次方程组无解的几何意义：方程组对应的两个一次函数图象平行，即斜率相等且截距不相等。我们先把方程组的两个方程转化为一次函数形式，根据平行的条件求出k的值，再将k代入待判断的直线解析式，最后根据一次函数斜率和截距的符号判断直线经过的象限，就能得出结果。
【解析】
1. 将方程组中两个方程变形为一次函数$y=kx+b$的形式：
由$x+y=1$得：$y=-x+1$；
由$(2k+1)x - y=3$得：$y=(2k+1)x - 3$。
2. 因为方程组无解，所以两条直线平行，斜率相等、截距不等：
列等式求k：$2k+1=-1$，
解得$k=-1$，验证截距$1≠ -3$，符合平行条件。
3. 把$k=-1$代入直线$y=-(k+3)x -k$：
$y=-(-1+3)x - (-1) = -2x + 1$。
4. 判断直线$y=-2x+1$经过的象限：
斜率$-2＜0$，直线从左到右下降；截距$1＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查二元一次方程组解的情况和一次函数的图象性质，解题关键是理解方程组无解对应两直线平行，求出参数k后即可结合一次函数图象规律判断象限，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
12. 下表是一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$图象上一部分点的坐标：
则方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2\end{cases}$的解为 ______ 。
则方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2\end{cases}$的解为 ______ 。答案
12.$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二元一次方程组与对应一次函数的关系：由两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，就是这两个一次函数图象的交点坐标，即同时满足两个函数解析式的x、y值。因此我们只需在表格中找到同一个x取值下，两个函数的y值相等的那组数据，即可得到方程组的解。
【解析】
根据二元一次方程组和一次函数的关系可知，方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2\end{cases}$的解是两个一次函数图象的交点坐标，也就是两组x、y值完全相同的点。
观察表格数据：当$x=1$时，$y=k_1x+b_1=3$，同时$y=k_2x+b_2=3$，说明两个函数的公共点为$(1,3)$，因此该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对二元一次方程组和一次函数对应关系的理解，无需计算解析式，直接结合表格数据查找公共点即可快速解题，掌握二者的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需明确二元一次方程组与对应一次函数的关系：由两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，就是这两个一次函数图象的交点坐标，即同时满足两个函数解析式的x、y值。因此我们只需在表格中找到同一个x取值下，两个函数的y值相等的那组数据，即可得到方程组的解。
【解析】
根据二元一次方程组和一次函数的关系可知，方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2\end{cases}$的解是两个一次函数图象的交点坐标，也就是两组x、y值完全相同的点。
观察表格数据：当$x=1$时，$y=k_1x+b_1=3$，同时$y=k_2x+b_2=3$，说明两个函数的公共点为$(1,3)$，因此该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对二元一次方程组和一次函数对应关系的理解，无需计算解析式，直接结合表格数据查找公共点即可快速解题，掌握二者的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
13. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-\dfrac{1}{2}x -1$与直线$y=-2x +2$相交于点P,并分别与x轴相交于点A,B.
(1)求交点P的坐标.
(2)求$△ PAB$的面积.
(1)求交点P的坐标.
(2)求$△ PAB$的面积.
答案
13.解:(1)联立$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{2}x-1,\\ y=-2x+2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=2,\\ y=-2. \end{cases}$ $\therefore P(2,-2).$
(2)在$y=-\dfrac{1}{2}x-1$中,令$y=0$,则$-\dfrac{1}{2}x-1=0$,解得$x=-2. \therefore A(-2,0).$在$y=-2x+2$中,令$y=0$,则$-2x+2=0$,解得$x=1. \therefore B(1,0). \therefore AB=3. \therefore S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|=\dfrac{1}{2}×3×2=3.$
(2)在$y=-\dfrac{1}{2}x-1$中,令$y=0$,则$-\dfrac{1}{2}x-1=0$,解得$x=-2. \therefore A(-2,0).$在$y=-2x+2$中,令$y=0$,则$-2x+2=0$,解得$x=1. \therefore B(1,0). \therefore AB=3. \therefore S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|=\dfrac{1}{2}×3×2=3.$
解析
【分析】
(1) 两条直线交点的坐标同时满足两个直线的函数解析式，因此只需将两个一次函数解析式联立为二元一次方程组，求解得到的x、y值就是交点P的横、纵坐标。
(2) 点A、B都是直线与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，因此分别令两个函数的y=0，求解得到A、B的横坐标，即可算出AB的长度作为△PAB的底；△PAB的高是点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 联立两个直线的解析式得方程组：
$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{2}x-1\\ y=-2x+2 \end{cases}$
解方程组：$-\dfrac{1}{2}x -1 = -2x +2$，移项整理得$\dfrac{3}{2}x=3$，解得$x=2$，将$x=2$代入$y=-2x+2$，得$y=-2×2 +2=-2$，因此交点P的坐标为$(2,-2)$。
(2) 求点A坐标：在$y=-\dfrac{1}{2}x -1$中，令$y=0$，得$-\dfrac{1}{2}x -1=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$。
求点B坐标：在$y=-2x +2$中，令$y=0$，得$-2x +2=0$，解得$x=1$，即$B(1,0)$。
则$AB=|1 - (-2)|=3$，点P到x轴的距离为$|y_P|=|-2|=2$，因此：
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2} × AB × |y_P|=\dfrac{1}{2} × 3 × 2=3$
【答案】
(1) $P(2,-2)$；(2) $△ PAB$的面积为$3$
【知识点】
一次函数交点求解、一次函数与坐标轴交点求法、坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础常考题，解题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，同时掌握坐标轴上点的坐标特征，整体解题思路清晰，方法固定，熟练掌握后可以快速作答。
【难度系数】
0.8
(1) 两条直线交点的坐标同时满足两个直线的函数解析式，因此只需将两个一次函数解析式联立为二元一次方程组，求解得到的x、y值就是交点P的横、纵坐标。
(2) 点A、B都是直线与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，因此分别令两个函数的y=0，求解得到A、B的横坐标，即可算出AB的长度作为△PAB的底；△PAB的高是点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 联立两个直线的解析式得方程组：
$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{2}x-1\\ y=-2x+2 \end{cases}$
解方程组：$-\dfrac{1}{2}x -1 = -2x +2$，移项整理得$\dfrac{3}{2}x=3$，解得$x=2$，将$x=2$代入$y=-2x+2$，得$y=-2×2 +2=-2$，因此交点P的坐标为$(2,-2)$。
(2) 求点A坐标：在$y=-\dfrac{1}{2}x -1$中，令$y=0$，得$-\dfrac{1}{2}x -1=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$。
求点B坐标：在$y=-2x +2$中，令$y=0$，得$-2x +2=0$，解得$x=1$，即$B(1,0)$。
则$AB=|1 - (-2)|=3$，点P到x轴的距离为$|y_P|=|-2|=2$，因此：
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2} × AB × |y_P|=\dfrac{1}{2} × 3 × 2=3$
【答案】
(1) $P(2,-2)$；(2) $△ PAB$的面积为$3$
【知识点】
一次函数交点求解、一次函数与坐标轴交点求法、坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础常考题，解题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，同时掌握坐标轴上点的坐标特征，整体解题思路清晰，方法固定，熟练掌握后可以快速作答。
【难度系数】
0.8
14.【知识回顾】
(1)通过学习我们知道一次函数$y=5-x$和$y=2x-1$的图象如图1所示，所以方程组$\begin{cases}x+y=5, \\ 2x-y=1\end{cases}$的解为 ______ .
【知识探究】
(2)小友结合学习一次函数的经验，对函数$y=-2|x|+5$的图象进行了探究.下面是小友的探究过程：
①列表:把下表补充完整.
②描点、连线:在给出的平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
【知识应用】
(3)利用一次函数与二元一次方程(组)的关系,结合函数图象可知,方程组$\begin{cases}2|x|+y=5, \\ y-x=2\end{cases}$的解为 ______ .
(1)通过学习我们知道一次函数$y=5-x$和$y=2x-1$的图象如图1所示，所以方程组$\begin{cases}x+y=5, \\ 2x-y=1\end{cases}$的解为 ______ .
【知识探究】
(2)小友结合学习一次函数的经验，对函数$y=-2|x|+5$的图象进行了探究.下面是小友的探究过程：
①列表:把下表补充完整.
②描点、连线:在给出的平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
【知识应用】
(3)利用一次函数与二元一次方程(组)的关系,结合函数图象可知,方程组$\begin{cases}2|x|+y=5, \\ y-x=2\end{cases}$的解为 ______ .
答案
14.解:(1)$\begin{cases} x=2,\\ y=3 \end{cases}$
(2)①$-1$ $1$ ②描点、连线,画出函数图象图略.
(3)$\begin{cases} x=-3,\\ y=-1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
(2)①$-1$ $1$ ②描点、连线,画出函数图象图略.
(3)$\begin{cases} x=-3,\\ y=-1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1,\\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
（1）根据“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”求解，联立两个一次函数解析式即可得到方程组的解。
（2）①将表格中对应的x值代入函数$y=-2|x|+5$，结合绝对值的运算规则计算即可补全表格；②根据表格中的坐标描点，再分$x＜0$、$x≥0$两段顺次连线，即可画出该函数的图象。
（3）先将方程组变形为两个函数解析式的形式，求方程组的解等价于求两个函数图象的交点坐标，分$x≥0$和$x＜0$两种情况去掉绝对值，分别解对应的二元一次方程组，验证解符合x的取值范围即可得到结果，也可直接通过观察图象交点得到解。
【解析】
(1) 方程组$\begin{cases}x+y=5 \\ 2x-y=1\end{cases}$对应的一次函数为$y=5-x$和$y=2x-1$，联立两个解析式：
$\begin{cases}y=5-x \\ y=2x-1\end{cases}$，代入得$5-x=2x-1$，解得$x=2$，将$x=2$代入$y=5-x$得$y=3$。
(2) ①将对应x值代入$y=-2|x|+5$计算，可得到空缺的y值为$-1$、$1$；
②在平面直角坐标系中描出表格中所有对应坐标的点，再分别沿$x＜0$、$x≥0$的区间顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(3) 将方程组$\begin{cases}2|x|+y=5 \\ y-x=2\end{cases}$变形为$\begin{cases}y=-2|x|+5 \\ y=x+2\end{cases}$，分两种情况求解：
①当$x≥0$时，$|x|=x$，方程组化为$\begin{cases}y=-2x+5 \\ y=x+2\end{cases}$，联立得$-2x+5=x+2$，解得$x=1$，代入得$y=3$，符合$x≥0$的要求；
②当$x＜0$时，$|x|=-x$，方程组化为$\begin{cases}y=2x+5 \\ y=x+2\end{cases}$，联立得$2x+5=x+2$，解得$x=-3$，代入得$y=-1$，符合$x＜0$的要求。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases}$
(2)①$-1$，$1$；②图象略
(3)$\begin{cases} x=-3\\ y=-1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1\\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，绝对值函数的图象，解二元一次方程组
【点评】
本题围绕一次函数与二元一次方程组的关联设置考点，考查了绝对值函数的探究方法，要求学生熟练掌握联立方程求解的方法，能灵活运用分类讨论思想去掉绝对值符号，同时渗透了数形结合的思想，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
（1）根据“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”求解，联立两个一次函数解析式即可得到方程组的解。
（2）①将表格中对应的x值代入函数$y=-2|x|+5$，结合绝对值的运算规则计算即可补全表格；②根据表格中的坐标描点，再分$x＜0$、$x≥0$两段顺次连线，即可画出该函数的图象。
（3）先将方程组变形为两个函数解析式的形式，求方程组的解等价于求两个函数图象的交点坐标，分$x≥0$和$x＜0$两种情况去掉绝对值，分别解对应的二元一次方程组，验证解符合x的取值范围即可得到结果，也可直接通过观察图象交点得到解。
【解析】
(1) 方程组$\begin{cases}x+y=5 \\ 2x-y=1\end{cases}$对应的一次函数为$y=5-x$和$y=2x-1$，联立两个解析式：
$\begin{cases}y=5-x \\ y=2x-1\end{cases}$，代入得$5-x=2x-1$，解得$x=2$，将$x=2$代入$y=5-x$得$y=3$。
(2) ①将对应x值代入$y=-2|x|+5$计算，可得到空缺的y值为$-1$、$1$；
②在平面直角坐标系中描出表格中所有对应坐标的点，再分别沿$x＜0$、$x≥0$的区间顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(3) 将方程组$\begin{cases}2|x|+y=5 \\ y-x=2\end{cases}$变形为$\begin{cases}y=-2|x|+5 \\ y=x+2\end{cases}$，分两种情况求解：
①当$x≥0$时，$|x|=x$，方程组化为$\begin{cases}y=-2x+5 \\ y=x+2\end{cases}$，联立得$-2x+5=x+2$，解得$x=1$，代入得$y=3$，符合$x≥0$的要求；
②当$x＜0$时，$|x|=-x$，方程组化为$\begin{cases}y=2x+5 \\ y=x+2\end{cases}$，联立得$2x+5=x+2$，解得$x=-3$，代入得$y=-1$，符合$x＜0$的要求。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases}$
(2)①$-1$，$1$；②图象略
(3)$\begin{cases} x=-3\\ y=-1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1\\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，绝对值函数的图象，解二元一次方程组
【点评】
本题围绕一次函数与二元一次方程组的关联设置考点，考查了绝对值函数的探究方法，要求学生熟练掌握联立方程求解的方法，能灵活运用分类讨论思想去掉绝对值符号，同时渗透了数形结合的思想，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
