例1 二次函数$y=-2x^{2}+1$的图像与二次函数$y=-2x^{2}$的图像有什么关系? 二次函数$y=-2x^{2}+1$的图像是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
解 二次函数$y=-2x^{2}+1$的图像,可以看作是二次函数$y=-2x^{2}$的图像向上平移1个单位长度得到.二次函数$y=-2x^{2}+1$的图像是轴对称图形,它的开口向下,对称轴是$y$轴,顶点坐标是$(0,1)$.

解：
二次函数$y=-2x^{2}+1$的图像可以看作是二次函数$y=-2x^{2}$的图像向上平移1个单位长度得到的。
二次函数$y=-2x^{2}+1$的图像是轴对称图形。
它的开口方向向下，对称轴是$y$轴（或直线$x=0$），顶点坐标是$(0,1)$。

例2 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数$y=2x^{2}$、$y=2(x-1)^{2}$、$y=2x^{2}-1$的图像.二次函数$y=2(x-1)^{2}$、$y=2x^{2}-1$的图像与二次函数$y=2x^{2}$的图像分别有什么关系?
解 列表:

描点、连线,画出这三个二次函数的图像(图5-5).

二次函数$y=2x^{2}$、$y=2(x-1)^{2}$、$y=2x^{2}-1$的图像都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.把二次函数$y=2x^{2}$的图像向右平移1个单位长度,可以得到二次函数$y=2(x-1)^{2}$的图像;把二次函数$y=2x^{2}$的图像向下平移1个单位长度,可以得到二次函数$y=2x^{2}-1$的图像.

解：
1. 列表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y=2x^2$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
| $y=2(x-1)^2$ | $18$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ |
| $y=2x^2-1$ | $7$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $7$ |
2. 描点、连线：在平面直角坐标系中，根据上表中的坐标分别描出三个函数对应的点，再用平滑曲线依次连接各点，得到三个二次函数的图像。
3. 图像关系：
二次函数$y=2x^{2}$、$y=2(x-1)^{2}$、$y=2x^{2}-1$的图像都是抛物线，且形状相同，仅位置不同。
将$y=2x^{2}$的图像向右平移1个单位长度，可得到$y=2(x-1)^{2}$的图像；
将$y=2x^{2}$的图像向下平移1个单位长度，可得到$y=2x^{2}-1$的图像。

(1) 在二次函数$y=-x^{2}$、$y=-2x^{2}+1$、$y=(x-2)^{2}$、$y=3x^{2}-1$、$y=-(x+3)^{2}$的图像中,开口向下且对称轴是$y$轴的函数是,顶点是最低点的函数是;

解：
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（或一般式$y=ax^2+bx+c$）：
当$a＜0$时，图像开口向下；当$a＞0$时，图像开口向上。
对称轴：$y=ax^2$、$y=ax^2+k$的对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；$y=a(x-h)^2$、$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$。
开口向上的二次函数，顶点是最低点；开口向下的二次函数，顶点是最高点。
逐个分析给定函数：
1. $y=-x^2$：$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴，顶点是最高点；
2. $y=-2x^2+1$：$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴，顶点是最高点；
3. $y=(x-2)^2$：$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点是最低点；
4. $y=3x^2-1$：$a=3＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴，顶点是最低点；
5. $y=-(x+3)^2$：$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-3$，顶点是最高点。
综上，开口向下且对称轴是$y$轴的函数是$\boldsymbol{y=-x^2}$、$\boldsymbol{y=-2x^2+1}$；顶点是最低点的函数是$\boldsymbol{y=(x-2)^2}$、$\boldsymbol{y=3x^2-1}$。