6. 阅读下面材料，并根据相关材料解答所提问题。
如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，$∠ C = 90^{\circ}$。若定义 $\cot A=\frac{∠ A\ 的邻边}{∠ A\ 的对边}=\frac{b}{a}$，则称它为锐角 $A$ 的余切。根据这个定义解答下列问题。
(1)$\cot 30^{\circ}=$；
(2)已知 $\tan A = \frac{3}{4}$，其中 $∠ A$ 为锐角，试求 $\cot A$ 的值；
(3)求证：$\tan A = \cot(90^{\circ} - A)$。

6. (1) $\sqrt{3}$
(2) 解:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，
$\because \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$，
$\therefore$ 可设 $BC = 3k(k ＞ 0)$，则 $AC = 4k$
$\therefore \cot A = \frac{AC}{BC} = \frac{4k}{3k} = \frac{4}{3}$。
(3) 证明:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，
则 $∠ A + ∠ B = 90^{\circ}$，即 $∠ B = 90^{\circ} - ∠ A$。
$\because \tan A = \frac{BC}{AC}$，$\cot B = \frac{BC}{AC}$，
$\therefore \tan A = \cot B$，即 $\tan A = \cot(90^{\circ} - A)$。

7. （东莞）如图，已知锐角三角形 $ABC$。
（1）过点 $A$ 作 $BC$ 边的垂线 $MN$，交 $BC$ 于点 $D$（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若 $BC = 5$，$AD = 4$，$\tan ∠ BAD = \frac{3}{4}$，求 $DC$ 的长。

7. 解:(1)

(2) $\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90^{\circ}$。在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$\because \tan∠ BAD = \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4}$，$\therefore BD = \frac{3}{4} × 4 = 3$，$\therefore DC = BC - BD = 5 - 3 = 2$。