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例 1 $x$ 取哪些整数值时，不等式 $5x + 2 ＞ 3(x - 1)$ 与 $\frac{1}{2}x≤ 2 - \frac{3}{2}x$ 都成立？
分析：由题意分别求出每个不等式的解集，再确定两个不等式解集的公共部分，即可得整数值.
解：解不等式 $5x + 2 ＞ 3(x - 1)$，得 $x ＞ -\frac{5}{2}$. 解不等式 $\frac{1}{2}x≤ 2 - \frac{3}{2}x$，得 $x≤ 1$.
$\therefore -\frac{5}{2} ＜ x≤ 1$. 故满足条件的整数值有 $-2$，$-1$，$0$，$1$.
分析：由题意分别求出每个不等式的解集，再确定两个不等式解集的公共部分，即可得整数值.
解：解不等式 $5x + 2 ＞ 3(x - 1)$，得 $x ＞ -\frac{5}{2}$. 解不等式 $\frac{1}{2}x≤ 2 - \frac{3}{2}x$，得 $x≤ 1$.
$\therefore -\frac{5}{2} ＜ x≤ 1$. 故满足条件的整数值有 $-2$，$-1$，$0$，$1$.
答案
解：解不等式 $5x + 2 ＞ 3(x - 1)$，
$5x + 2 ＞ 3x - 3$，
$5x - 3x ＞ -3 - 2$，
$2x ＞ -5$，
$x ＞ -\frac{5}{2}$。
解不等式 $\frac{1}{2}x ≤ 2 - \frac{3}{2}x$，
$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x ≤ 2$，
$2x ≤ 2$，
$x ≤ 1$。
$\therefore -\frac{5}{2} ＜ x ≤ 1$，满足条件的整数值为$-2$，$-1$，$0$，$1$。
$5x + 2 ＞ 3x - 3$，
$5x - 3x ＞ -3 - 2$，
$2x ＞ -5$，
$x ＞ -\frac{5}{2}$。
解不等式 $\frac{1}{2}x ≤ 2 - \frac{3}{2}x$，
$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x ≤ 2$，
$2x ≤ 2$，
$x ≤ 1$。
$\therefore -\frac{5}{2} ＜ x ≤ 1$，满足条件的整数值为$-2$，$-1$，$0$，$1$。
变式：$x$ 取哪些整数值时，不等式 $3(2 - x)≥ 4 - x$ 与 $\frac{1 + 2x}{2} ＜ 2x + 1$ 都成立？
答案
解：$3(2 - x) ≥ 4 - x$，解得$x ≤ 1$。
$\frac{1 + 2x}{2} ＜ 2x + 1$，解得$x ＞ -\frac{1}{2}$。
$\therefore x$可取的整数值为 0，1。
$\frac{1 + 2x}{2} ＜ 2x + 1$，解得$x ＞ -\frac{1}{2}$。
$\therefore x$可取的整数值为 0，1。
例 2 某农场收割小麦，已知 $1$ 台大型收割机和 $3$ 台小型收割机 $1$ $h$ 可以收割小麦 $1.4$ $hm^{2}$，$2$ 台大型收割机和 $5$ 台小型收割机 $1$ $h$ 可以收割小麦 $2.5$ $hm^{2}$.
(1) 每台大型收割机和每台小型收割机 $1$ $h$ 分别收割小麦多少公顷？
(2) 租用大型收割机每小时费用为 $300$ 元，租用小型收割机每小时费用为 $200$ 元，计划租用两种型号的收割机一共 $10$ 台，要求 $2$ $h$ 以内（含 $2$ $h$）完成 $8$ $hm^{2}$ 小麦的收割任务，且总费用不超过 $5400$ 元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用.
分析：(1) 根据条件，可列出关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组，解之即可得出结论. (2) 设租用大型收割机 $m$ 台，则租用小型收割机 $(10 - m)$ 台，根据“要求 $2$ $h$ 以内（含 $2$ $h$）完成 $8$ $hm^{2}$ 小麦收割任务”及“总费用不超过 $5400$ 元”，可列出关于 $m$ 的一元一次不等式组，解之并求整数解即可.
解：(1) 设每台大型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $x$ $hm^{2}$，每台小型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $y$ $hm^{2}$.
根据题意，得 $\begin{cases}x + 3y = 1.4, \\ 2x + 5y = 2.5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 0.5, \\ y = 0.3.\end{cases}$
答：每台大型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $0.5$ $hm^{2}$，每台小型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $0.3$ $hm^{2}$.
(2) 设租用大型收割机 $m$ 台，则租用小型收割机 $(10 - m)$ 台.
根据题意，得 $\begin{cases}2× 0.5m + 2× 0.3(10 - m)≥ 8, \\ 300× 2m + 200× 2(10 - m)≤ 5400,\end{cases}$ 解得 $5≤ m≤ 7$.
$\because m$ 为正整数，$\therefore m = 5$，$6$，$7$，有三种不同的方案.
当 $m = 5$ 时，总费用为 $300× 2× 5 + 200× 2× (10 - 5) = 5000$（元）.
当 $m = 6$ 时，总费用为 $300× 2× 6 + 200× 2× (10 - 6) = 5200$（元）.
当 $m = 7$ 时，总费用为 $300× 2× 7 + 200× 2× (10 - 7) = 5400$（元）.
$\therefore$ 当 $m = 5$ 时，总费用取最小值，最小值为 $5000$ 元.
答：有三种方案，当租用大型收割机和小型收割机各 $5$ 台时，总费用最低，最低费用为 $5000$ 元.
(1) 每台大型收割机和每台小型收割机 $1$ $h$ 分别收割小麦多少公顷？
(2) 租用大型收割机每小时费用为 $300$ 元，租用小型收割机每小时费用为 $200$ 元，计划租用两种型号的收割机一共 $10$ 台，要求 $2$ $h$ 以内（含 $2$ $h$）完成 $8$ $hm^{2}$ 小麦的收割任务，且总费用不超过 $5400$ 元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用.
分析：(1) 根据条件，可列出关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组，解之即可得出结论. (2) 设租用大型收割机 $m$ 台，则租用小型收割机 $(10 - m)$ 台，根据“要求 $2$ $h$ 以内（含 $2$ $h$）完成 $8$ $hm^{2}$ 小麦收割任务”及“总费用不超过 $5400$ 元”，可列出关于 $m$ 的一元一次不等式组，解之并求整数解即可.
解：(1) 设每台大型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $x$ $hm^{2}$，每台小型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $y$ $hm^{2}$.
根据题意，得 $\begin{cases}x + 3y = 1.4, \\ 2x + 5y = 2.5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 0.5, \\ y = 0.3.\end{cases}$
答：每台大型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $0.5$ $hm^{2}$，每台小型收割机 $1$ $h$ 收割小麦 $0.3$ $hm^{2}$.
(2) 设租用大型收割机 $m$ 台，则租用小型收割机 $(10 - m)$ 台.
根据题意，得 $\begin{cases}2× 0.5m + 2× 0.3(10 - m)≥ 8, \\ 300× 2m + 200× 2(10 - m)≤ 5400,\end{cases}$ 解得 $5≤ m≤ 7$.
$\because m$ 为正整数，$\therefore m = 5$，$6$，$7$，有三种不同的方案.
当 $m = 5$ 时，总费用为 $300× 2× 5 + 200× 2× (10 - 5) = 5000$（元）.
当 $m = 6$ 时，总费用为 $300× 2× 6 + 200× 2× (10 - 6) = 5200$（元）.
当 $m = 7$ 时，总费用为 $300× 2× 7 + 200× 2× (10 - 7) = 5400$（元）.
$\therefore$ 当 $m = 5$ 时，总费用取最小值，最小值为 $5000$ 元.
答：有三种方案，当租用大型收割机和小型收割机各 $5$ 台时，总费用最低，最低费用为 $5000$ 元.
答案
(1)设每台大型收割机1h收割小麦$x\ hm^{2}$，每台小型收割机1h收割小麦$y\ hm^{2}$.
根据题意，得$\begin{cases}x + 3y = 1.4, \\ 2x + 5y = 2.5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 0.5, \\ y = 0.3.\end{cases}$
答：每台大型收割机1h收割小麦$0.5\ hm^{2}$，每台小型收割机1h收割小麦$0.3\ hm^{2}$.
(2)设租用大型收割机$m$台，则租用小型收割机$(10 - m)$台.
根据题意，得$\begin{cases}2×0.5m + 2×0.3(10 - m)≥8, \\ 300×2m + 200×2(10 - m)≤5400,\end{cases}$
解得$5≤ m≤7$.
$\because m$为正整数，$\therefore m = 5,6,7$，有三种方案.
当$m = 5$时，总费用为$300×2×5 + 200×2×(10 - 5)=5000$元；
当$m = 6$时，总费用为$300×2×6 + 200×2×(10 - 6)=5200$元；
当$m = 7$时，总费用为$300×2×7 + 200×2×(10 - 7)=5400$元.
$\therefore$费用最低的方案是租用大型收割机5台，小型收割机5台，最低费用为5000元.
答：有三种方案，租用大型收割机和小型收割机各5台时费用最低，最低费用为5000元.
根据题意，得$\begin{cases}x + 3y = 1.4, \\ 2x + 5y = 2.5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 0.5, \\ y = 0.3.\end{cases}$
答：每台大型收割机1h收割小麦$0.5\ hm^{2}$，每台小型收割机1h收割小麦$0.3\ hm^{2}$.
(2)设租用大型收割机$m$台，则租用小型收割机$(10 - m)$台.
根据题意，得$\begin{cases}2×0.5m + 2×0.3(10 - m)≥8, \\ 300×2m + 200×2(10 - m)≤5400,\end{cases}$
解得$5≤ m≤7$.
$\because m$为正整数，$\therefore m = 5,6,7$，有三种方案.
当$m = 5$时，总费用为$300×2×5 + 200×2×(10 - 5)=5000$元；
当$m = 6$时，总费用为$300×2×6 + 200×2×(10 - 6)=5200$元；
当$m = 7$时，总费用为$300×2×7 + 200×2×(10 - 7)=5400$元.
$\therefore$费用最低的方案是租用大型收割机5台，小型收割机5台，最低费用为5000元.
答：有三种方案，租用大型收割机和小型收割机各5台时费用最低，最低费用为5000元.
