【典型例题1】下列变形：①$8xy^{3}= 4xy\cdot 2y^{2}$；②$x^{2}+1= x(x+\frac{1}{x})$；③$(x+1)(x - 1)= x^{2}-1$；④$x^{2}+2x - 1= x(x+2)-1$；⑤$x^{2}+xy^{2}= x(x+y^{2})$；⑥$x^{2}+4x + 4= (x + 2)^{2}$,属于因式分解的有()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

C

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，
①$8xy^{3}= 4xy\cdot 2y^{2}$，等号左边$8xy^{3}$是单项式，不是多项式，所以不是因式分解；
②$x^{2}+1= x(x+\frac{1}{x})$，等号右边$\frac{1}{x}$不是整式，所以不是因式分解；
③$(x + 1)(x - 1)= x^{2}-1$，这是整式乘法，不是因式分解；
④$x^{2}+2x - 1= x(x + 2)-1$，等号右边不是积的形式，所以不是因式分解；
⑤$x^{2}+xy^{2}= x(x + y^{2})$，符合因式分解的定义，是因式分解；
⑥$x^{2}+4x + 4= (x + 2)^{2}$，符合因式分解的定义，是因式分解。
属于因式分解的有$2$个。

1. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是()
A.$x^{2}-5x + 6= x(x - 5)+6$
B.$x^{2}-5x + 5= x^{2}-5(x - 1)$
C.$x(x - 1)= x^{2}-x$
D.$x^{2}-4= (x + 2)(x - 2)$

D

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A：$x^{2}-5x + 6=x(x - 5)+6$，右边不是积的形式，不是因式分解。
选项B：$x^{2}-5x + 5=x^{2}-5(x - 1)$，右边不是积的形式，不是因式分解。
选项C：$x(x - 1)=x^{2}-x$，是从积的形式化为多项式，是整式乘法，不是因式分解。
选项D：$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，把多项式化为两个整式的积的形式，是因式分解。

2. 若$x^{2}+x + m= (x - 3)(x + n)对x$恒成立,则$n= $。

4

将等式右边展开得：$ (x - 3)(x + n) = x^2 + nx - 3x - 3n = x^2 + (n - 3)x - 3n $。
由于等式左边为：$ x^2 + x + m $，且等式对$x$恒成立，所以对应项系数相等：
$n - 3 = 1$，解得$n = 4$。
同时，常数项也相等，即$m = -3n$，但这不影响求$n$的值。

【典型例题2】分解因式：
(1)$am^{2}-an^{3}$；(2)$2x^{2}-3xy + 5x^{3}$。
【解】(1)$am^{2}-an^{3}= a\cdot m^{2}-a\cdot n^{3}= a(m^{2}-n^{3})$。
(2)$2x^{2}-3xy + 5x^{3}= x\cdot 2x - x\cdot 3y + x\cdot 5x^{2}= x(2x - 3y + 5x^{2})$。

(1)
$am^{2}-an^{3}=a(m^{2} - n^{3})$
(2)
$2x^{2}-3xy + 5x^{3}=x(2x - 3y+5x^{2})$

3. 下列各式的公因式为$a$的是()
A.$2ax + 7ay + 5$
B.$-13m - 6ma^{2}$
C.$3b^{2}+10ab$
D.$a^{2}-2a + ma$

D

A. 对于 $2ax + 7ay + 5$，观察各项发现，只有前两项$2ax$ 和 $7ay$含有$a$，而第三项5并不包含$a$，所以$a$不是该式的公因式，故A错误；
B. 对于 $-13m - 6ma^{2}$，观察各项发现，虽然两项都含有$m$，但只有后一项包含$a$ 的二次项，而前一项并不包含$a$，提取公因式的部分应该包含$m$和$a$的公共部分，但此处$a$并非所有项的公因子（因为-13m项可以看作是$-13m×1$，没有$a$），考虑到公因式应是最简形式，我们通常提取数字和字母的公共部分作为公因式，此处应提取$-m$为公因式，故B错误；
C. 对于 $3b^{2}+10ab$，观察各项发现，只有后一项包含$a$，而前一项并不包含$a$，所以$a$不是该式的公因式，故C错误；
D. 对于 $a^{2}-2a + ma$，观察各项发现，所有项都包含$a$，因此可以提取$a$为公因式，故D正确。

4. 分解因式：
(1)(2024·陕西中考)$a^{2}-ab= $______；
(2)(2024·江苏南通中考)$ax - ay= $______。

(1) $a(a - b)$；
(2) $a(x - y)$。

(1) 对于 $a^{2} - ab$，观察两项发现都含有公因式 $a$，因此可以提取公因式 $a$，得到：
$a^{2} - ab = a × a - a × b = a(a - b)$。
(2) 对于 $ax - ay$，观察两项发现都含有公因式 $a$，提取公因式 $a$，得到：
$ax - ay = a × x - a × y = a(x - y)$。

1. 对于①$x - 3xy= x(1 - 3y)$,②$(x+3)(x - 1)= x^{2}+2x - 3$,从左到右的变形,表述正确的是()
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算,②是因式分解
D.①是因式分解,②是乘法运算

D

因式分解是将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，而乘法运算则是将两个或多个整式相乘得到一个新的多项式。对于①$x - 3xy=x(1 - 3y)$，是将多项式$x - 3xy$转化成了$x$与$(1 - 3y)$这两个整式的乘积的形式，是因式分解。对于②$(x + 3)(x - 1)=x^{2}+2x - 3$，是两个整式$(x + 3)$与$(x - 1)$相乘得到多项式$x^{2}+2x - 3$，是乘法运算。