12. 【数学文化】希腊著名的毕达哥拉斯学派把 $1,3,6,10,…$ 这样的数称为“三角形数”,而把 $1,4,9,16,…$ 这样的数称为“正方形数”。从中可以发现,任何一个大于 $1$ 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中,符合这一规律的是()。
A.$13 = 3 + 10$
B.$25 = 9 + 16$
C.$36 = 15 + 21$
D.$49 = 18 + 31$

C

三角形数规律：第$n$个三角形数为$\frac{n(n + 1)}{2}$，相邻两个三角形数为$\frac{n(n + 1)}{2}$和$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$，其和为$\frac{n(n + 1)}{2}+\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}=(n + 1)^2$，即正方形数。
A选项：13不是正方形数，不符合。
B选项：9、16是正方形数，不是三角形数，不符合。
C选项：15是第5个三角形数$\frac{5×6}{2}=15$，21是第6个三角形数$\frac{6×7}{2}=21$，和为$15 + 21=36=6^2$，符合。
D选项：18、31不是三角形数，不符合。
C

1. 如图,依此规律堆放圆木,第 10 堆需要圆木()。

A.50 根
B.55 根
C.60 根
D.65 根
]

B

第1堆圆木数量：1根
第2堆圆木数量：1+2=3根
第3堆圆木数量：1+2+3=6根
...
第n堆圆木数量：$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
当n=10时，$\frac{10×(10+1)}{2}=55$
B

2. 1766 年德国人提丢斯发现,太阳系中的行星到太阳的距离遵循一定的规律,如下表所示：

那么第 7 颗行星到太阳的距离是()。
A.7 天文单位
B.8 天文单位
C.9 天文单位
D.10 天文单位

D

观察表格中距离的规律：从第2颗行星开始，距离表达式为$0.4 + 0.3 × 2^{n-2}$（$n$为颗次，$n\geq2$）。
第2颗：$0.4 + 0.3 × 2^{0}=0.7$；
第3颗：$0.4 + 0.3 × 2^{1}=1.0$；
第4颗：$0.4 + 0.3 × 2^{2}=1.6$；
第5颗：$0.4 + 0.3 × 2^{3}=2.8$；
第6颗：$0.4 + 0.3 × 2^{4}=5.2$；
第7颗：$0.4 + 0.3 × 2^{5}=0.4 + 0.3 × 32=0.4 + 9.6=10$。
D

3. 已知 $9×1 + 0 = 9$,$9×2 + 1 = 19$,$9×3 + 2 = 29$,$9×4 + 3 = 39$,…,按此规律,第 6 个式子是。

9×6+5=59

4. 观察下面的单项式：$a$,$-2a^{2}$,$4a^{3}$,$-8a^{4}$,…,根据你发现的规律,第 8 个式子是。

-128a⁸

$-128a^{8}$