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1. 如图,在方格纸中,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $,$ E $,$ F $,$ G $ 都在格点上,则 $ \triangle ABC $ 的重心是( )
A.点 $ G $
B.点 $ D $
C.点 $ E $
D.点 $ F $
A.点 $ G $
B.点 $ D $
C.点 $ E $
D.点 $ F $
答案
B 解析:如图所示,取BC的中点N,AC 的中点M,连接AN,BM.因为AN与BM 的交点为D,所以点D是△ABC的重心.故选B.
2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 是边 $ BC $ 上的一点,且 $ \triangle ABD $ 的面积与 $ \triangle ADC $ 的面积相等,则线段 $ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的(
A.高
B.中线
C.角平分线
D.不能确定
B
)A.高
B.中线
C.角平分线
D.不能确定
答案
B 解析:因为△ABD的边BD上的高和△ADC的边CD上的高相同,且两个三角形的面积相等,所以BD=CD.故选B.
3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 为中线,$ DE $ 和 $ DF $ 分别为 $ \triangle ADB $ 和 $ \triangle ADC $ 的高. 若 $ AB = 3 $,$ AC = 4 $,$ DF = 1.5 $,则 $ DE = $
2
.答案
2 解析:因为在△ABC中,AD为中线，所以BD=DC,所以S_{△ABD}=S_{△ADC}.由题意可知,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,所以$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$AC·DF,所以$\frac{1}{2}$×3×DE=$\frac{1}{2}$×4×1.5,所以DE=2.
解析
因为在$\triangle ABC$中，$AD$为中线，所以$BD=DC$，故$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$。
已知$DE$和$DF$分别为$\triangle ADB$和$\triangle ADC$的高，$AB = 3$，$AC = 4$，$DF = 1.5$，则$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DF$。
所以$\frac{1}{2}×3× DE=\frac{1}{2}×4×1.5$，解得$DE = 2$。
$2$
已知$DE$和$DF$分别为$\triangle ADB$和$\triangle ADC$的高，$AB = 3$，$AC = 4$，$DF = 1.5$，则$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DF$。
所以$\frac{1}{2}×3× DE=\frac{1}{2}×4×1.5$，解得$DE = 2$。
$2$
4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ CE $ 平分 $ \angle ACB $,$ \angle 1 = \angle 2 $,若 $ \angle ACE = 23° $,则 $ \angle ACB $ 的度数为 ______ ,$ \angle EDC $ 的度数为 ______ .
46°
134°
答案
46° 134° 解析:因为CE平分∠ACB，∠ACE=23°,所以∠1=∠ACE=23°,∠ACB=2∠ACE=46°.因为∠1=∠2,所以∠ACE=∠2,所以DE//AC,所以∠ACB+∠EDC=180°,所以∠EDC=180°−46°=134°.
5. 如图,$ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的中线,$ BE $ 为 $ \triangle ABD $ 的中线.
(1)在 $ \triangle BED $ 中,过顶点 $ E $,$ D $,分别画出 $ BD $,$ BE $ 边上的高 $ EF $,$ DG $；
(2)若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 40 $,$ BD = 5 $,求 $ \triangle BED $ 的高 $ EF $ 的长.
(1)在 $ \triangle BED $ 中,过顶点 $ E $,$ D $,分别画出 $ BD $,$ BE $ 边上的高 $ EF $,$ DG $；
(2)若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 40 $,$ BD = 5 $,求 $ \triangle BED $ 的高 $ EF $ 的长.
答案
解:
(1)如图所示,EF,DG即为所求.
(2)因为AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线，所以S_{△ABD}=$\frac{1}{2}$S_{△ABC},S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$S_{△ABD},所以S_{△BDE}=$\frac{1}{4}$S_{△ABC}.因为△ABC的面积为40,所以S_{△BDE}=10.又因为BD=5,所以S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$BD·EF=$\frac{1}{2}$×5·EF=10,所以EF=4,即△BED的高EF的长为4.
6. 李叔叔想将如图所示的三角形土地分成面积相等的四块,请你帮他设计至少两种划分方案.
答案
解:如图①,在△ABC中,D为BC的中点,E,F分别为BD,CD的中点,连接AD,AE,AF,则$S_{△ABE}=S_{△AED}=S_{△ADF}=S_{△AFC}.$如图②,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AB,AC的中点，连接AD,DE,DF,则$S_{△AED}=S_{△AFD}=S_{△BED}=S_{△CFD}.$如图③,在△ABC中,D为BC的中点,连接AD,取AD的中点E,连接BE,CE,则$S_{△ABE}=S_{△ACE}=S_{△BED}=S_{△CED}.$如图④,在△ABC中,D,F分别为BC,AC 的中点,连接AD,DF,取AD的中点E,连接BE,则$S_{△ABE}=S_{△ADF}=S_{△BED}=S_{△FDC}.($答案不唯一，只要设计至少两种合理的方案即可)
7. 在等腰三角形 $ ABC $ 中,$ AB = AC $,一腰上的中线 $ BD $ 将这个等腰三角形的周长分成 $ 12 $ 和 $ 6 $ 两部分,求这个等腰三角形的腰长及底边长.
答案
解:由题意可知,BD是AC边上的中线，所以AD=CD=$\frac{1}{2}$AC.因为AB=AC,所以设AB=AC=2x，BC=y,则AD=CD=x.分两种情况:
①当AB+AD=12,BC+CD=6时,可得2x+x=12,解得x=4,{x+y=6,解得{y=2.所以AB=AC=2x=8,所以这个等腰三角形的腰长为8,底边长为2.
②当AB+AD=6,BC+CD=12时,可得2x+x=6,解得x=2,{x+y=12,解得{y=10.所以AB=AC=2x=4.因为4+4=8＜10,所以不能组成三角形.综上所述,这个等腰三角形的腰长为8,底边长为2.
①当AB+AD=12,BC+CD=6时,可得2x+x=12,解得x=4,{x+y=6,解得{y=2.所以AB=AC=2x=8,所以这个等腰三角形的腰长为8,底边长为2.
②当AB+AD=6,BC+CD=12时,可得2x+x=6,解得x=2,{x+y=12,解得{y=10.所以AB=AC=2x=4.因为4+4=8＜10,所以不能组成三角形.综上所述,这个等腰三角形的腰长为8,底边长为2.
