18. (本题满分 6 分)
解方程:$ \frac{x}{x - 2}-1= \frac{4}{x^{2}-4x + 4} $.

解：方程两边同乘$(x - 2)^2$，得$x(x - 2) - (x - 2)^2 = 4$。
展开得$x^2 - 2x - (x^2 - 4x + 4) = 4$。
去括号得$x^2 - 2x - x^2 + 4x - 4 = 4$。
合并同类项得$2x - 4 = 4$。
移项得$2x = 8$。
解得$x = 4$。
检验：当$x = 4$时，$(x - 2)^2 = (4 - 2)^2 = 4 ≠ 0$。
所以原分式方程的解为$x = 4$。

19. (本题满分 8 分)
如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ \angle ABC $ 的平分线交 $ AD $ 于点 $ E $,$ \angle BCD $ 的平分线交 $ AD $ 于点 $ F $,交 $ BE $ 于点 $ G $,$ AD = 6 $,$ EF = 3 $.求 $ AF $ 的长度.

$\boxed{\frac{3}{2}}$

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB=CD，AD=BC=6。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC（内错角相等）。
∴∠ABE=∠AEB，∴△ABE为等腰三角形，∴AB=AE。
∵CF平分∠BCD，∴∠FCD=∠FCB。
∵AD//BC，∴∠DFC=∠FCB（内错角相等）。
∴∠FCD=∠DFC，∴△DFC为等腰三角形，∴CD=DF。
∵AB=CD，∴AE=DF。设AF=x，AE=DF=y，则AE=AF+EF或DF=DE+EF（需讨论点顺序）。
由图知点顺序为A---F---E---D，∴AE=AF+EF=x+3，DF=EF+ED=3+(6-x-3)=6-x。
∵AE=DF，∴x+3=6-x，解得x=1.5。
∴AF=1.5（或$\frac{3}{2}$）。