16. 如图,点 P 在∠AOB 的平分线上,PC⊥OA 于点 C,∠AOB= 30°,点 D 在边 OB 上.若 OD= DP= 2,则线段 PC 的长为______.

1

过点$P$作$PE \perp OB$于点$E$。
因为$OD = DP = 2$，所以$\angle DOP=\angle DPO$。
因为点$P$在$\angle AOB$的平分线上，$\angle AOB = 30^\circ$，所以$\angle DOP=\angle DPO=\frac{1}{2}\angle AOB = 15^\circ$。
所以$\angle PDE=\angle DOP+\angle DPO=30^\circ$。
在$Rt\triangle PDE$中，$\angle PDE = 30^\circ$，$DP = 2$，所以$PE=\frac{1}{2}DP = 1$。
因为点$P$在$\angle AOB$的平分线上，$PC\perp OA$，$PE\perp OB$，所以$PC = PE = 1$。
1

17. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,0),B(0,3),如果点 C 在第一象限内,且△ABC 为等腰直角三角形,那么点 C 的坐标是.

(4,1)，(3,4)，(2,2)

情况1：以AB为直角边，A为直角顶点
设点$ C(x,y) $，$ A(1,0) $，$ B(0,3) $。
向量$ \overrightarrow{AB}=(-1,3) $，向量$ \overrightarrow{AC}=(x-1,y) $。
由$ AB \perp AC $且$ |AB|=|AC| $：
$\begin{cases}-1 \cdot (x-1) + 3 \cdot y = 0 \\(-1)^2 + 3^2 = (x-1)^2 + y^2\end{cases}$
解得$ x=4,y=1 $（第一象限），即$ C(4,1) $。
情况2：以AB为直角边，B为直角顶点
向量$ \overrightarrow{BA}=(1,-3) $，向量$ \overrightarrow{BC}=(x,y-3) $。
由$ BA \perp BC $且$ |BA|=|BC| $：
$\begin{cases}1 \cdot x + (-3) \cdot (y-3) = 0 \\1^2 + (-3)^2 = x^2 + (y-3)^2\end{cases}$
解得$ x=3,y=4 $（第一象限），即$ C(3,4) $。
情况3：以AB为斜边，C为直角顶点
AB中点$ M\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) $，$ |AB|=\sqrt{10} $，则$ |CM|=\frac{\sqrt{10}}{2} $。
向量$ \overrightarrow{AC}=(x-1,y) $，$ \overrightarrow{BC}=(x,y-3) $，由$ AC \perp BC $：
$\begin{cases}(x-1)x + y(y-3) = 0 \\\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2\end{cases}$
解得$ x=2,y=2 $（第一象限），即$ C(2,2) $。
答案： $ (4,1) $，$ (3,4) $，$ (2,2) $

18. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠ABC= 30°,AC= 6,D 是线段 AB 上的一个动点,以 BD 为边在△ABC 外作等边三角形 BDE.若 F 是 DE 的中点,则当 CF 的长取最小值时,△BDE 的周长为______.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=AC·tan60°=6√3，∠BAC=60°。
设BD=x，以B为原点，BC为x轴建立坐标系，
则B(0,0)，C(6√3,0)，A(0,6)，AB：y=-√3/3 x+6。
D在AB上，D(x·cos60°,x·sin60°)=(x/2,(√3/2)x)。
△BDE为等边三角形，E(x·cos(-60°),x·sin(-60°))=(x/2,-(√3/2)x)。
F为DE中点，F(x/2,0)。
CF=|6√3 - x/2|，当x=12√3时CF最小，
但AB=12＜12√3，故D与A重合时x=12，此时CF=6√3 - 6。
△BDE周长=3x=36。
36

19. (本小题 10 分)如图,△ABC 是等边三角形,点 D,E 分别在 AB,AC 上,AD= CE,CD 与 BE 相交于点 F.
(1) 求证:∠ACD= ∠CBE;
(2) 在线段 CD 的延长线上求作一点 P,使得∠BPC= 60°.(保留作图痕迹,不写作法)

(1) 证明：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AC = BC$，$\angle A=\angle ACB = 60^{\circ}$。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，
$\begin{cases}AC = BC\\\angle A=\angle ACB\\AD = CE\end{cases}$
所以$\triangle ACD\cong\triangle CBE(SAS)$。
所以$\angle ACD=\angle CBE$。
(2) 以$B$为圆心，$BC$长为半径画弧交$CD$延长线于点$P$，点$P$即为所求。
因为$BP = BC$，$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = BC$，所以$BP = AB$。
$\angle BPC=\angle BCP$，$\angle ABC=\angle BDC+\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle BDC=\angle BDP = 60^{\circ}$，$\angle ABD+\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle ABD+\angle ABE=\angle EBC$，$\angle EBC=\angle ACD$，所以$\angle BPC = 60^{\circ}$。