9. 已知抛物线 $ y= x^{2}+2ax+a $,其中 a 为常数.
(1) 求抛物线的顶点坐标；(用含 a 的式子表示)
(2) 将抛物线 $ y= x^{2}+2ax+a $ 向上平移 2 个单位长度,设所得抛物线的顶点的纵坐标为 n,求 n 的最大值.

(1) 对于抛物线 $y = x^{2} + 2ax + a$，
配方得：
$y = (x + a)^{2} - a^{2} + a$
因此，抛物线的顶点坐标为 $(-a, -a^{2} + a)$。
(2) 抛物线 $y = x^{2} + 2ax + a$ 向上平移 2 个单位长度后，新的函数表达式为：
$y = (x + a)^{2} - a^{2} + a + 2$
新的顶点坐标为 $(-a, -a^{2} + a + 2)$，其中纵坐标 $n = -a^{2} + a + 2$。
为求 $n$ 的最大值，将 $n$ 表达为关于 $a$ 的二次函数：
$n = -a^{2} + a + 2$
$n = -(a^{2} - a) + 2$
$n = -[(a - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}] + 2$
$n = -(a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{9}{4}$
由于二次项系数为负，函数开口向下，因此当 $a = \frac{1}{2}$ 时，$n$ 取得最大值 $\frac{9}{4}$。

对于一个二次函数 $ y= a(x-m)^{2}+k(a≠0) $,若其图象上存在一点 $ P(x',y') $,使得 $ x'-m= y'-k≠0 $,则称 $ 2|x'-m| $ 为该抛物线的开口大小.
(1) 试用含 a 的式子表示抛物线 $ y= a(x-m)^{2}+k $ 的开口大小；
(2) 求抛物线 $ y= -\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x+5 $ 的开口大小.

(1)设点$P(x^{\prime } ,y^{\prime })$满足$x^{\prime } - m = y^{\prime } - k\neq0$，
因为点$P(x^{\prime },y^{\prime })$在抛物线$y = a(x - m)^{2}+k$上，
所以$y^{\prime }=a(x^{\prime } - m)^{2}+k$，
又因为$x^{\prime } - m = y^{\prime } - k$，将其代入上式可得：
$x^{\prime } - m=a(x^{\prime } - m)^{2}$，
由于$x^{\prime } - m\neq0$，等式两边同时除以$x^{\prime } - m$得：
$a(x^{\prime } - m)=1$，
则$\vert x^{\prime } - m\vert=\frac{1}{\vert a\vert}$，
根据开口大小的定义，开口大小为$2\vert x^{\prime } - m\vert$，
所以抛物线$y = a(x - m)^{2}+k$的开口大小为$\frac{2}{\vert a\vert}$。
(2)将抛物线$y =-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}x + 5$化为顶点式：
$y=-\frac{1}{3}(x^{2}-\frac{3}{2}x)+5$
$y=-\frac{1}{3}(x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}-\frac{9}{16})+5$
$y=-\frac{1}{3}(x - \frac{3}{4})^{2}+\frac{3}{16}+5$
$y=-\frac{1}{3}(x - \frac{3}{4})^{2}+\frac{83}{16}$
由(1)可知，对于抛物线$y = a(x - m)^{2}+k$，开口大小为$\frac{2}{\vert a\vert}$，
这里$a =-\frac{1}{3}$，则$\vert a\vert=\frac{1}{3}$，
所以开口大小为$\frac{2}{\frac{1}{3}} = 6$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{2}{\vert a\vert}$；(2)6。