1. 已知在直角三角形 $ABC$ 中,有一个锐角等于 $50^{\circ}$,则另一个锐角的度数是()
A.$50^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

C

在直角三角形中，两个锐角的和为$90^{\circ}$。已知一个锐角为$50^{\circ}$，则另一个锐角的度数为$90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
C

2. 具备下列条件的 $\triangle ABC$,不是直角三角形的是()
A.$\angle A+\angle B= \angle C$
B.$\angle A= \frac{1}{2}\angle B= \frac{1}{3}\angle C$
C.$\angle A= 2\angle B= 3\angle C$
D.$\angle A:\angle B:\angle C= 1:3:4$

C

A. $\angle A+\angle B=\angle C$，又$\angle A+\angle B+\angle C=180°$，则$2\angle C=180°$，$\angle C=90°$，是直角三角形。
B. 设$\angle A=x$，则$\angle B=2x$，$\angle C=3x$，$x+2x+3x=180°$，$6x=180°$，$x=30°$，$\angle C=90°$，是直角三角形。
C. 设$\angle A=6x$，则$\angle B=3x$，$\angle C=2x$，$6x+3x+2x=180°$，$11x=180°$，$x=\frac{180°}{11}$，$\angle A=\frac{1080°}{11}\neq90°$，$\angle B=\frac{540°}{11}\neq90°$，$\angle C=\frac{360°}{11}\neq90°$，不是直角三角形。
D. 设$\angle A=x$，$\angle B=3x$，$\angle C=4x$，$x+3x+4x=180°$，$8x=180°$，$x=22.5°$，$\angle C=90°$，是直角三角形。
结论：C

3. 直角三角形的两个锐角的度数比为 $1:3$,则较小的锐角的度数为。

22.5°

设较小锐角的度数为$x$，则另一个锐角的度数为$3x$。
因为直角三角形两锐角和为$90°$，所以$x + 3x=90°$，
$4x=90°$，
$x=22.5°$。
$22.5°$

题型1 如图,已知 $\triangle ABC$ 为直角三角形,$\angle C = 90^{\circ}$,若沿图中虚线剪去 $\angle C$,则 $\angle 1+\angle 2$ 等于()

A.$90^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$270^{\circ}$
D.$315^{\circ}$

题型1 C
 

题型2 如图,$AD$,$BF$ 分别是 $\triangle ABC$ 的高与角平分线,$BF$,$AD$ 交于点 $E$,$\angle 1= \angle 2$。求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形。

题型2 证明:
∵AD⊥BC，
∴∠BED+∠EBD=90°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBD，
∴∠BED+∠ABE=90°.
又
∵∠1=∠BED，
∴∠1+∠ABE=90°.
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠ABE=90°，
∴∠BAF=90°.
即△ABC是直角三角形.

1. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,$\angle B = 2\angle C$,则 $\angle C$ 的度数为()
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$30^{\circ}$或 $60^{\circ}$

A

在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A = 90^{\circ}$。
因为$\angle B = 2\angle C$，设$\angle C = x$，则$\angle B = 2x$，可得方程$2x + x = 90^{\circ}$，$3x = 90^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$，即$\angle C = 30^{\circ}$。
A

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB\perp AC$,$DE// BC$,$\angle B = 60^{\circ}$,则 $\angle AED$ 的度数是()

A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

A

在$\triangle ABC$中，$AB\perp AC$，所以$\angle BAC=90^{\circ}$。
因为$\angle B=60^{\circ}$，三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle C=180^{\circ}-\angle BAC-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
由于$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle AED=\angle C=30^{\circ}$。
A

3. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 58^{\circ}$,将 $\angle A$ 折叠,使点 $A$ 落在边 $CB$ 上 $A'$ 处,折痕为 $CD$,则 $\angle A'DB$ 的度数为。

26°

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=58^{\circ}$，
$\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-58^{\circ}=32^{\circ}$。
由折叠性质得，$\angle CA'D=\angle A=58^{\circ}$。
$\angle CA'D$是$\triangle A'BD$的外角，
$\angle A'DB=\angle CA'D-\angle B=58^{\circ}-32^{\circ}=26^{\circ}$。
26°