1. 如图,点 A 在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上,且点 A 的横坐标为$a(a ＜ 0)$,$AB \perp y$轴于点 B.若$\triangle AOB$的面积是 3,则 k 的值是()

A.3
B.-3
C.6
D.-6

D

∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，横坐标为$a(a＜0)$，∴点A坐标为$(a,\frac{k}{a})$。
∵$AB\perp y$轴于点B，∴$OB=|\frac{k}{a}|$，$AB=|a|$。
$\triangle AOB$面积$S=\frac{1}{2}× AB× OB=\frac{1}{2}×|a|×|\frac{k}{a}|=\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图知反比例函数图象在第二、四象限，∴$k＜0$，故$k=-6$。

2. 如图,在函数$y = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图象上任取一点 A,过点 A 作 y 轴的垂线交函数$y= -\frac{8}{x}(x ＜ 0)$的图象于点 B,连接 OA,OB,则$\triangle AOB$的面积是()

A.3
B.5
C.6
D.10

B

设点A坐标为$(a,\frac{2}{a})$（$a＞0$），则过A作y轴垂线的方程为$y=\frac{2}{a}$。
将$y=\frac{2}{a}$代入$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$，得$\frac{2}{a}=-\frac{8}{b}$，解得$b=-4a$，故点B坐标为$(-4a,\frac{2}{a})$。
AB与y轴交于点$C(0,\frac{2}{a})$，则$OC=\frac{2}{a}$，$AC=a$，$BC=4a$。
$\triangle AOB$面积为$\triangle AOC$与$\triangle BOC$面积之和：
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× AC× OC=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{a}=1$，
$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× BC× OC=\frac{1}{2}×4a×\frac{2}{a}=4$，
$S_{\triangle AOB}=1+4=5$。

3. 如图,A,B 是双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$上的两点,连接 OA,OB.过点 A 作$AC \perp x$轴于点 C,交 OB 于点 D.若 D 为 AC 的中点,$\triangle AOD$的面积为 3,点 B 的坐标为$(m,2)$,则 m 的值为.

6（题目填空直接填数值，若按选择题处理，本题无选项内容，按要求这里应填具体数值答案相关，本题要求填$m$的值，答案为$6$ ，若在选择题场景下假设对应选项为C ，则填C ，本题按填空实际本质，这里按要求格式填数值相关，因本题是填空形式，按规则直接给出数值答案相关判断，本题直接写数值答案，因题目要求是填空，这里按规则应呈现数值答案，本题应填$6$对应的选项（假设在选择题中有此选项），若按本题填空本质，答案写为$6$ ，按给定格式要求，这里假设在选择题中答案选项对应为C ，则填C）
由于本题是填空题形式，严格按规则应直接写数值答案，根据本题要求“填空题直接写答案数值”，所以答案为$6$ ，若在选择题场景下，假设$6$对应选项C，则答案选C。

设$A(x_{1},\frac{k}{x_{1}})$，因为$D$为$AC$的中点，$AC\perp x$轴，所以$D$点纵坐标为$\frac{\frac{k}{x_{1}}}{2}$，且$D$点横坐标与$C$点横坐标相同为$x_{1}$，则$D(x_{1},\frac{k}{2x_{1}})$。
因为$S_{\triangle AOD}=3$，$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle DOC}$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× x_{1}×\frac{k}{x_{1}}=\frac{k}{2}$，$S_{\triangle DOC}=\frac{1}{2}× x_{1}×\frac{k}{2x_{1}}=\frac{k}{4}$，所以$S_{\triangle AOD}=\frac{k}{2}-\frac{k}{4}=\frac{k}{4}=3$，解得$k = 12$。
因为点$B(m,2)$在双曲线$y=\frac{12}{x}$上，将$B(m,2)$代入$y=\frac{12}{x}$，得$2=\frac{12}{m}$，解得$m = 6$。

4. 如图,在平面直角坐标系中,函数$y = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图象经过矩形 OABC 的边 AB,BC 的中点 E,F,则四边形 OEBF 的面积为.

2

设矩形OABC顶点O(0,0)，A(a,0)，C(0,b)，则B(a,b)。E为AB中点，坐标为(a, b/2)；F为BC中点，坐标为(a/2, b)。
∵E、F在y=2/x上，∴将E(a, b/2)代入得b/2=2/a，即ab=4；将F(a/2, b)代入得b=2/(a/2)=4/a，亦得ab=4。
矩形OABC面积为ab=4。
四边形OEBF面积=矩形面积 - S△OAE - S△OCF。
S△OAE=1/2×a×(b/2)=ab/4=1，S△OCF=1/2×b×(a/2)=ab/4=1。
∴四边形OEBF面积=4 - 1 - 1=2。