7. 因式分解：$xy-2y^{2}= $.

$y(x - 2y)$

首先观察原式 $xy - 2y^{2}$，可以发现两项都含有 $y$，因此可以提取公因式 $y$，得到：
$xy - 2y^{2} = y × x - 2 × y^{2} = y(x - 2y)$

8. 因式分解：$(a-2)(a-4)+1= $.

$(a-3)^2$

$(a-2)(a-4)+1$
$=a^{2}-4a-2a+8+1$
$=a^{2}-6a+9$
$=(a-3)^{2}$

9. 已知$x+y= 4,xy= 2$,则$x^{3}y+2x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值等于.

32。

$x^{3}y + 2x^{2}y^{2} + xy^{3} = xy(x^{2} + 2xy + y^{2}) = xy(x + y)^{2}$，
当$x + y = 4$，$xy = 2$时，原式$= 2×4^{2} = 2×16 = 32$。
32

10. 计算：$184.5^{2}+184.5×31+15.5^{2}= $.

40000

$184.5^{2}+184.5×31+15.5^{2}$
$=184.5^{2}+2×184.5×15.5+15.5^{2}$
$=(184.5+15.5)^{2}$
$=200^{2}$
$=40000$
40000

11. 已知$m+n= 3$,则$m^{2}-n^{2}+6n$的值为.

9

$m^{2}-n^{2}+6n$
$=(m+n)(m-n)+6n$
因为$m+n=3$，所以原式$=3(m-n)+6n$
$=3m - 3n + 6n$
$=3m + 3n$
$=3(m + n)$
$=3×3$
$=9$
9

12. 因式分解：
(1)$12xy-x^{2}-36y^{2}$；
(2)$2a^{2}(a-b)-8(a-b)$.

(1)解：
原式
$= -(x^{2} - 12xy + 36y^{2})$
$= -(x - 6y)^{2}$
(2)解：
原式
$= 2(a - b)(a^{2} - 4)$
$= 2(a - b)(a + 2)(a - 2)$

13. 已知实数$a,b,c,m,n满足3m+n= \frac{b}{a},mn= \frac{c}{a}$,求证：$b^{2}-12ac$为非负数.

证明：
∵3m+n = $\frac{b}{a}$，mn = $\frac{c}{a}$，
∴$(3m + n)^2 = \left(\frac{b}{a}\right)^2$，即$9m^2 + 6mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$。
又$12mn = 12 × \frac{c}{a} = \frac{12c}{a}$，
则$(3m + n)^2 - 12mn = 9m^2 + 6mn + n^2 - 12mn = 9m^2 - 6mn + n^2 = (3m - n)^2$。
∵$(3m - n)^2 \geq 0$（实数的平方非负），
∴$(3m + n)^2 - 12mn \geq 0$。
将3m+n = $\frac{b}{a}$，mn = $\frac{c}{a}$代入，得$\left(\frac{b}{a}\right)^2 - 12 × \frac{c}{a} \geq 0$，
即$\frac{b^2}{a^2} - \frac{12c}{a} \geq 0$，通分可得$\frac{b^2 - 12ac}{a^2} \geq 0$。
∵a≠0（否则mn = $\frac{c}{a}$无意义），
∴$a^2 ＞ 0$，
不等式两边同乘$a^2$，得$b^2 - 12ac \geq 0$。
故$b^2 - 12ac$为非负数。