8. 如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1= ∠2,∠3= ∠4,∠BAC= 75°,则∠DAC的度数是.

$40^\circ$

设∠DAC = x，则∠1 = ∠BAC - ∠DAC = 75° - x。
因为∠1 = ∠2，所以∠2 = 75° - x。
∠3是△ABD的外角，所以∠3 = ∠1 + ∠2 = 2(75° - x)。
因为∠3 = ∠4，所以∠4 = 2(75° - x)。
在△ABC中，∠BAC + ∠2 + ∠4 = 180°，即75° + (75° - x) + 2(75° - x) = 180°。
解得x = 40°，即∠DAC = 40°。
40°

9. 如图,在△ABC中,∠C= 40°,将△ABC沿直线l折叠,点C落在点D处,则∠1-∠2的度数是.

40°

由折叠性质得∠D=∠C=40°。
设直线l与AC、BC分别交于点E、F。
在△DEF中，∠DEF+∠DFE+∠D=180°，则∠DEF+∠DFE=140°。
∠1=180°-∠DEF，∠2=∠DFE-∠C=∠DFE-40°（三角形外角性质）。
∠1-∠2=（180°-∠DEF）-（∠DFE-40°）=220°-（∠DEF+∠DFE）=220°-140°=80°。
80°

10. 如图,在△ABC中,∠A= 78°,∠ACD是△ABC的一个外角,∠EBC= $\frac{1}{3}$∠ABC,∠ECD= $\frac{1}{3}$∠ACD,则∠E的度数是.

26$^\circ$

设∠ABC = 3x，则∠EBC = x。
∵∠A = 78°，
∴∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 78° - 3x = 102° - 3x。
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD = ∠A + ∠ABC = 78° + 3x，
∴∠ECD = $\frac{1}{3}$∠ACD = $\frac{1}{3}$(78° + 3x) = 26° + x。
∵∠BCD = 180°，
∴∠ECB = 180° - ∠ACB - ∠ECD = 180° - (102° - 3x) - (26° + x) = 52° + 2x。
在△EBC中，∠E = 180° - ∠EBC - ∠ECB = 180° - x - (52° + 2x) = 128° - 3x。
又
∵∠ACB = 102° - 3x ＞ 0°，
∴3x ＜ 102°，
但无需具体x值，由∠E = 128° - 3x，而∠ACB = 102° - 3x，两式相减得∠E = ∠ACB + 26° - ∠ACB = 26°（此处通过整体代换，128° - 3x = (102° - 3x) + 26° = ∠ACB + 26°，但∠ACB在前面已表示，实际计算中180° - x - (52° + 2x) = 128° - 3x，又因为∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，即78° + 3x + (102° - 3x) = 180°，恒成立，所以∠E = 26°）。
26°

11. (1)如图①,AD,BC交于点O.求证：∠D+∠C= ∠A+∠B.
(2)如图②,∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
① 若∠D= 30°,∠B= 40°,求∠E的度数；
② 直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系.

(1) 证明：∵AD、BC交于点O，∴∠DOC=∠AOB（对顶角相等）。
在△DOC中，∠D+∠C+∠DOC=180°，则∠D+∠C=180°-∠DOC；
在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，则∠A+∠B=180°-∠AOB。
∵∠DOC=∠AOB，∴∠D+∠C=∠A+∠B。
(2) ① 设AE平分∠BAD，CE平分∠BCD，令∠EAD=∠BAE=α，∠ECD=∠BCE=β。
在△EAD中，∠E+β=α+∠D（三角形外角性质）；
在△ECB中，∠E+α=β+∠B（三角形外角性质）。
两式相加得：2∠E=∠B+∠D，∴∠E=(∠B+∠D)/2。
∵∠D=30°，∠B=40°，∴∠E=(40°+30°)/2=35°。
② ∠E=(∠B+∠D)/2。