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7. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 120°,将△ABC 绕点 C 逆时针旋转得到△DEC,点 A,B 的对应点分别为 D,E,连接 AD. 当点 A,D,E 在同一条直线上时,下列结论一定正确的是 (
A.∠ABC= ∠ADC
B.CB= CD
C.DE+DC= BC
D.AB//CD
D
)A.∠ABC= ∠ADC
B.CB= CD
C.DE+DC= BC
D.AB//CD
答案
D
解析
由旋转性质得△ABC≌△DEC，∴AC=DC，∠EDC=∠BAC=120°，DE=AB。
∵A、D、E共线，∴∠ADC=180°-∠EDC=60°。
∵AC=DC，∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°。
∵∠BAC=120°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
∵A、D、E共线，∴∠ADC=180°-∠EDC=60°。
∵AC=DC，∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠ACD=60°。
∵∠BAC=120°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
8. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A 的坐标为(-7,10),将△ABC 绕原点 O 顺时针旋转,每次旋转 90°,则旋转 2025 次后,点 A 的坐标为 (
A.(7,-10)
B.(10,7)
C.(-7,10)
D.(-10,-7)
B
)A.(7,-10)
B.(10,7)
C.(-7,10)
D.(-10,-7)
答案
B
解析
点A坐标为(-7,10)，绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为(a,b)→(b,-a)。旋转周期为4次（360°），2025÷4=506余1，即旋转2025次相当于旋转1次。按规律计算：(-7,10)顺时针旋转90°后坐标为(10,7)。
9. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= BC= √2. 将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°到△AB'C'的位置,连接 C'B,则 C'B 的长为 (
A.2-√2
B.√3/2
C.√3-1
D.1
C
)A.2-√2
B.√3/2
C.√3-1
D.1
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√2，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√[(√2)²+(√2)²]=2。
将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△AB'C'，则AC=AC'=√2，∠CAC'=60°，故△ACC'为等边三角形，∴CC'=AC=√2，∠ACC'=60°。
在△BCC'中，BC=√2，CC'=√2，∠BCC'=∠ACB - ∠ACC'=90° - 60°=30°。
由余弦定理得：C'B²=BC² + CC'² - 2·BC·CC'·cos∠BCC'= (√2)² + (√2)² - 2×√2×√2×cos30°=2 + 2 - 4×(√3/2)=4 - 2√3，
∴C'B=√(4 - 2√3)=√3 - 1。
将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△AB'C'，则AC=AC'=√2，∠CAC'=60°，故△ACC'为等边三角形，∴CC'=AC=√2，∠ACC'=60°。
在△BCC'中，BC=√2，CC'=√2，∠BCC'=∠ACB - ∠ACC'=90° - 60°=30°。
由余弦定理得：C'B²=BC² + CC'² - 2·BC·CC'·cos∠BCC'= (√2)² + (√2)² - 2×√2×√2×cos30°=2 + 2 - 4×(√3/2)=4 - 2√3，
∴C'B=√(4 - 2√3)=√3 - 1。
10. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,0),B(1,-1),将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转,设旋转角为 α(0°＜α＜135°). 记点 A 的对应点为$ A_1. $若点$ A_1$与点 B 的距离为√6,则 α 的度数为(
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
B
)A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案
B
解析
设点$A_1(x,y)$，由旋转性质知$OA_1=OA=2$，则$x^2+y^2=4$。
点$A_1$与$B(1,-1)$距离为$\sqrt{6}$，根据距离公式：$(x-1)^2+(y+1)^2=6$。
展开并代入$x^2+y^2=4$，得$4 - 2x + 2y + 2 = 6$，化简得$y=x$。
联立$\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=x\end{cases}$，解得$x=y=\sqrt{2}$（$x=y=-\sqrt{2}$舍去，因$0°＜α＜135°$）。
点$A_1(\sqrt{2},\sqrt{2})$在第一象限角平分线上，故旋转角$α=45°$。
点$A_1$与$B(1,-1)$距离为$\sqrt{6}$，根据距离公式：$(x-1)^2+(y+1)^2=6$。
展开并代入$x^2+y^2=4$，得$4 - 2x + 2y + 2 = 6$，化简得$y=x$。
联立$\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=x\end{cases}$，解得$x=y=\sqrt{2}$（$x=y=-\sqrt{2}$舍去，因$0°＜α＜135°$）。
点$A_1(\sqrt{2},\sqrt{2})$在第一象限角平分线上，故旋转角$α=45°$。
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,3),把 OA 绕点 O 逆时针旋转 90°,那么点 A 旋转后对应点的横坐标是
-3
.答案
-3
解析
过点A作AB⊥x轴于B，旋转后对应点为A'，过A'作A'C⊥x轴于C。由旋转性质得OA=OA'，∠AOA'=90°，则∠AOB+∠A'OC=90°，又∠AOB+∠OAB=90°，故∠OAB=∠A'OC。可证△AOB≌△OA'C（AAS），所以OC=AB=3，因点A'在第二象限，横坐标为-3。
12. 如图,将等腰直角三角形 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°至△A'OB'的位置. 若点 B 的横坐标为 2,则点 A'的坐标为
(-1,1)
.答案
(-1,1)
解析
设O为原点(0,0)，点B在x轴上，横坐标为2，故B(2,0)。△AOB为等腰直角三角形，设直角顶点为A，则OA=AB，∠OAB=90°。设A(x,y)，由OA=AB得x²+y²=(x-2)²+y²，解得x=1；由∠OAB=90°，向量AO·AB=0得 -x + y²=0，代入x=1得y=1（第一象限），故A(1,1)。点A(1,1)绕O逆时针旋转90°，根据旋转坐标变换规则(x,y)→(-y,x)，得A'(-1,1)。
