11. 已知反比例函数$y= \frac{k-3}{x}$的图象的一支位于第一象限,则常数k的取值范围是.

$k＞3$

对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$，当$m＞0$时，图象位于第一、三象限；当$m＜0$时，图象位于第二、四象限。已知该反比例函数$y=\frac{k - 3}{x}$的一支位于第一象限，所以$k - 3＞0$，解得$k＞3$。

12. 如图,在平面直角坐标系中,射线l的端点为(0,1),l//x轴.请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式:.

$y = \frac{1}{x}$（答案不唯一）

设反比例函数为$y = \frac{k}{x}$（$k\neq0$），
因为射线$l$的端点为$(0,1)$，且$l// x$轴，要使反比例函数图象与射线$l$有公共点，则当$y = 1$时，$x$的值要大于$0$，
把$y = 1$代入$y=\frac{k}{x}$得$1=\frac{k}{x}$，即$x = k$，所以$k\gt0$，
那么满足条件的反比例函数可以是$y=\frac{1}{x}$。

13. 若直线y= ax(a＞0)与双曲线$y= \frac{3}{x}$交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)两点,则$4x_1y_2+3x_2y_1$的值为.

-21

联立直线与双曲线方程：$ax = \frac{3}{x}$，得$x^2 = \frac{3}{a}$，解得$x = \pm\sqrt{\frac{3}{a}}$，则交点坐标为$(\sqrt{\frac{3}{a}}, a\sqrt{\frac{3}{a}})$和$(-\sqrt{\frac{3}{a}}, -a\sqrt{\frac{3}{a}})$，故两点关于原点对称，即$x_2 = -x_1$，$y_2 = -y_1$。
因为点$A(x_1,y_1)$在双曲线$y = \frac{3}{x}$上，所以$x_1y_1 = 3$。
则$4x_1y_2 + 3x_2y_1 = 4x_1(-y_1) + 3(-x_1)y_1 = -4x_1y_1 - 3x_1y_1 = -7x_1y_1 = -7×3 = -21$。

14. 如图,正方形ABCD的顶点A,B在y轴上,反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点C和AD的中点E.若AB= 2,则k的值是.

4

设点B的坐标为(0, b)，∵AB=2且A、B在y轴上，A在B上方，∴A(0, b+2)。
∵四边形ABCD为正方形，BC⊥AB，BC=AB=2，∴BC水平向右，C(2, b)；AD水平向右，D(2, b+2)。
E为AD中点，AD端点A(0, b+2)、D(2, b+2)，∴E(1, b+2)。
∵反比例函数$ y = \frac{k}{x} $过点C(2, b)和E(1, b+2)，
∴$ b = \frac{k}{2} $且$ b+2 = \frac{k}{1} $，
联立得$ k = 2b $和$ k = b+2 $，解得b=2，k=4。

15. 已知反比例函数$y= \frac{k}{x}(k≠0)$,当1≤x≤2时,函数的最大值与最小值之差是1,则k的值为.

$2$或$-2$（或写为$\pm 2$）

设反比例函数为 $y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）。
当 $k ＞ 0$ 时，在 $x ＞ 0$ 的区间内，函数是减函数。
因此在区间 $[1, 2]$ 上，函数的最大值为 $y_{max} = \frac{k}{1} = k$，最小值为 $y_{min} = \frac{k}{2}$。
根据题意，$y_{max} - y_{min} = 1$，即 $k - \frac{k}{2} = 1$，解得 $k = 2$。
当 $k ＜ 0$ 时，在 $x ＞ 0$ 的区间内，函数是增函数（对于$x＜0$的情况本题不考虑，因为题目给定$1\leq x\leq2$）。
因此在区间 $[1, 2]$ 上，函数的最小值为 $y_{min} = \frac{k}{1} = k$，最大值为 $y_{max} = \frac{k}{2}$。
根据题意，$y_{max} - y_{min} = 1$，即 $\frac{k}{2} - k = 1$，解得 $k = -2$。
综合以上两种情况，$k$ 的可能值为 $2$ 或 $-2$。

16. 某市举行中小学生硬笔书法大赛.如图,用四点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率y与该校参加比赛人数x的情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是.(填“甲”“乙”“丙”或“丁”)

甲

优秀人数=参加人数×优秀率，即$x\cdot y$。乙、丁在同一反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，则$x_{乙}y_{乙}=x_{丁}y_{丁}=k$，故乙、丁优秀人数相等。由图像可知，甲点在该反比例函数图像上方，即对甲的$x_{甲}$，有$y_{甲}＞\frac{k}{x_{甲}}$，则$x_{甲}y_{甲}＞k$；丙点在图像下方，$x_{丙}y_{丙}＜k$。因此甲的优秀人数最多。

17. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B在反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点A的坐标为(m,2),连接OA,OB,AB.若OA= AB,∠OAB= 90°,则k的值为.

$2\sqrt{5}-2$

∵点A(m,2)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，∴$k=2m$。
过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥AM于N，易证△AOM≌△BAN（AAS），得AM=BN=2，OM=AN=m。
∴点B坐标为(m+2,2-m)。
∵点B在反比例函数上，∴$(m+2)(2-m)=k$。
又$k=2m$，∴$4 - m^2=2m$，即$m^2 + 2m - 4=0$。
解得$m=-1+\sqrt{5}$（$m＞0$，舍负）。
∴$k=2m=2(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}-2$。