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1. 下列各式中,满足完全平方公式进行因式分解的是(
A.$2x^{2}+4x + 1$
B.$4x^{2}-12xy + 9y^{2}$
C.$2x^{2}+4xy + y^{2}$
D.$x^{2}-y^{2}+2xy$
B
)A.$2x^{2}+4x + 1$
B.$4x^{2}-12xy + 9y^{2}$
C.$2x^{2}+4xy + y^{2}$
D.$x^{2}-y^{2}+2xy$
答案
B
解析
完全平方公式为$(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2$。
选项A：$2x^2 + 4x + 1$，$2x^2$不是某整式的平方，不符合。
选项B：$4x^2 - 12xy + 9y^2=(2x)^2 - 2×2x×3y + (3y)^2=(2x - 3y)^2$，符合。
选项C：$2x^2 + 4xy + y^2$，$2x^2$和$y^2$不是对应整式平方的乘积二倍项，不符合。
选项D：$x^2 - y^2 + 2xy=x^2 + 2xy - y^2$，$-y^2$不符合平方项要求，不符合。
B
选项A：$2x^2 + 4x + 1$，$2x^2$不是某整式的平方，不符合。
选项B：$4x^2 - 12xy + 9y^2=(2x)^2 - 2×2x×3y + (3y)^2=(2x - 3y)^2$，符合。
选项C：$2x^2 + 4xy + y^2$，$2x^2$和$y^2$不是对应整式平方的乘积二倍项，不符合。
选项D：$x^2 - y^2 + 2xy=x^2 + 2xy - y^2$，$-y^2$不符合平方项要求，不符合。
B
2. 计算：$100^{2}-2×100×99 + 99^{2}=$(
A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$39601$
B
)A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$39601$
答案
B
解析
$100^{2}-2×100×99 + 99^{2}=(100-99)^{2}=1^{2}=1$
B
B
3. 因式分解：$(x + y)^{2}+2(x + y)+1$.
答案
$(x+y+1)^{2}$
解析
$(x+y)^{2}+2(x+y)+1=(x+y+1)^{2}$
题型1 在多项式①$4x^{2}+4x - 1$；②$x^{2}-2xy + 4y^{2}$；③$2a - a^{2}-1$；④$m^{2}-mn+\frac{1}{4}n^{2}$中,是完全平方式的有(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
B
)A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
题型1
本题可根据完全平方式的形式$a^2\pm2ab + b^2=(a\pm b)^2$来逐一判断多项式是否为完全平方式。
对于①$4x^{2}+4x - 1$，$4x^{2}+4x + 1=(2x + 1)^2$，而原式是$4x^{2}+4x - 1$，不满足完全平方式形式，不是完全平方式。
对于②$x^{2}-2xy + 4y^{2}$，$(x - y)^2=x^{2}-2xy + y^{2}$，原式不满足完全平方式形式，不是完全平方式。
对于③$2a - a^{2}-1$，变形为$-(a^{2}-2a + 1)=-(a - 1)^2$，满足完全平方式形式，是完全平方式。
对于④$m^{2}-mn+\frac{1}{4}n^{2}=m^{2}-2× m×\frac{1}{2}n+(\frac{1}{2}n)^{2}=(m - \frac{1}{2}n)^2$，满足完全平方式形式，是完全平方式。
所以是完全平方式的有③④，共$2$个，答案选**B**。
题型2
先对$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$进行因式分解，再代入$a + b = 5$求值。
对$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$因式分解：
提取公因式$4$得$4(a^{2}+2ab + b^{2})$，根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^2$，则$4(a^{2}+2ab + b^{2})=4(a + b)^2$。
代入$a + b = 5$：
$4×5^2=4×25 = 100$。
所以$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$的值是$100$，答案选**A**。
题型3
$(1)$分解因式$(m + n)^2-4(m + n)+4$：
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，这里$a = m + n$，$b = 2$，则$(m + n)^2-4(m + n)+4=(m + n - 2)^2$。
$(2)$分解因式$(x - y)^2+4xy$：
先展开$(x - y)^2$得$x^{2}-2xy + y^{2}$，则$(x - y)^2+4xy=x^{2}-2xy + y^{2}+4xy=x^{2}+2xy + y^{2}$。
再根据完全平方公式$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^2$。
题型4
对$x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 10 = 0$进行配方：
$x^{2}+2x + 1+y^{2}-6y + 9 = 0$，即$(x + 1)^2+(y - 3)^2 = 0$。
因为一个数的平方是非负数，要使两个非负数的和为$0$，则$(x + 1)^2 = 0$且$(y - 3)^2 = 0$。
由$(x + 1)^2 = 0$得$x=-1$，由$(y - 3)^2 = 0$得$y = 3$。
所以$x + y=-1+3 = 2$。
题型5
$(1)$计算$99^{2}+198 + 1$：
将$198$变形为$2×99×1$，根据完全平方公式$a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，这里$a = 99$，$b = 1$，则$99^{2}+198 + 1=99^{2}+2×99×1+1^2=(99 + 1)^2=100^2 = 10000$。
$(2)$计算$202^{2}+202×196 + 98^{2}$：
将$202×196$变形为$2×202×98$，根据完全平方公式$a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，这里$a = 202$，$b = 98$，则$202^{2}+202×196 + 98^{2}=202^{2}+2×202×98+98^2=(202 + 98)^2=300^2 = 90000$。
综上，答案依次为：题型1 **B**；题型2 **A**；题型3 $(1)$$\boldsymbol{(m + n - 2)^2}$；$(2)$$\boldsymbol{(x + y)^2}$；题型4 $\boldsymbol{2}$；题型5 $(1)$$\boldsymbol{10000}$；$(2)$$\boldsymbol{90000}$。
本题可根据完全平方式的形式$a^2\pm2ab + b^2=(a\pm b)^2$来逐一判断多项式是否为完全平方式。
对于①$4x^{2}+4x - 1$，$4x^{2}+4x + 1=(2x + 1)^2$，而原式是$4x^{2}+4x - 1$，不满足完全平方式形式，不是完全平方式。
对于②$x^{2}-2xy + 4y^{2}$，$(x - y)^2=x^{2}-2xy + y^{2}$，原式不满足完全平方式形式，不是完全平方式。
对于③$2a - a^{2}-1$，变形为$-(a^{2}-2a + 1)=-(a - 1)^2$，满足完全平方式形式，是完全平方式。
对于④$m^{2}-mn+\frac{1}{4}n^{2}=m^{2}-2× m×\frac{1}{2}n+(\frac{1}{2}n)^{2}=(m - \frac{1}{2}n)^2$，满足完全平方式形式，是完全平方式。
所以是完全平方式的有③④，共$2$个，答案选**B**。
题型2
先对$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$进行因式分解，再代入$a + b = 5$求值。
对$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$因式分解：
提取公因式$4$得$4(a^{2}+2ab + b^{2})$，根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^2$，则$4(a^{2}+2ab + b^{2})=4(a + b)^2$。
代入$a + b = 5$：
$4×5^2=4×25 = 100$。
所以$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$的值是$100$，答案选**A**。
题型3
$(1)$分解因式$(m + n)^2-4(m + n)+4$：
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，这里$a = m + n$，$b = 2$，则$(m + n)^2-4(m + n)+4=(m + n - 2)^2$。
$(2)$分解因式$(x - y)^2+4xy$：
先展开$(x - y)^2$得$x^{2}-2xy + y^{2}$，则$(x - y)^2+4xy=x^{2}-2xy + y^{2}+4xy=x^{2}+2xy + y^{2}$。
再根据完全平方公式$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^2$。
题型4
对$x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 10 = 0$进行配方：
$x^{2}+2x + 1+y^{2}-6y + 9 = 0$，即$(x + 1)^2+(y - 3)^2 = 0$。
因为一个数的平方是非负数，要使两个非负数的和为$0$，则$(x + 1)^2 = 0$且$(y - 3)^2 = 0$。
由$(x + 1)^2 = 0$得$x=-1$，由$(y - 3)^2 = 0$得$y = 3$。
所以$x + y=-1+3 = 2$。
题型5
$(1)$计算$99^{2}+198 + 1$：
将$198$变形为$2×99×1$，根据完全平方公式$a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，这里$a = 99$，$b = 1$，则$99^{2}+198 + 1=99^{2}+2×99×1+1^2=(99 + 1)^2=100^2 = 10000$。
$(2)$计算$202^{2}+202×196 + 98^{2}$：
将$202×196$变形为$2×202×98$，根据完全平方公式$a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，这里$a = 202$，$b = 98$，则$202^{2}+202×196 + 98^{2}=202^{2}+2×202×98+98^2=(202 + 98)^2=300^2 = 90000$。
综上，答案依次为：题型1 **B**；题型2 **A**；题型3 $(1)$$\boldsymbol{(m + n - 2)^2}$；$(2)$$\boldsymbol{(x + y)^2}$；题型4 $\boldsymbol{2}$；题型5 $(1)$$\boldsymbol{10000}$；$(2)$$\boldsymbol{90000}$。
题型2 若$a + b = 5$,则$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$的值是( )
A.$100$
B.$25$
C.$50$
D.$40$
A.$100$
B.$25$
C.$50$
D.$40$
答案
$4a^{2}+8ab + 4b^{2}=4(a^{2}+2ab + b^{2})=4(a + b)^{2}$，因为$a + b = 5$，所以$4(a + b)^{2}=4×5^{2}=4×25 = 100$。
答案：A。
答案：A。
题型3 分解因式：
(1)$(m + n)^{2}-4(m + n)+4$.
(2)$(x - y)^{2}+4xy$.
(1)$(m + n)^{2}-4(m + n)+4$.
(2)$(x - y)^{2}+4xy$.
答案
1. 对于$(m + n)^{2}-4(m + n)+4$：
解：
把$(m + n)$看成一个整体，设$a=m + n$，则原式变为$a^{2}-4a + 4$。
根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，这里$a^{2}-4a + 4=a^{2}-2× a×2+2^{2}$，所以$a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}$。
再把$a=m + n$代回，得到$(m + n)^{2}-4(m + n)+4=(m + n - 2)^{2}$。
2. 对于$(x - y)^{2}+4xy$：
解：
先根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$展开$(x - y)^{2}$，$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$。
则原式$(x - y)^{2}+4xy=x^{2}-2xy + y^{2}+4xy$。
合并同类项：$x^{2}-2xy + y^{2}+4xy=x^{2}+2xy + y^{2}$。
再根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，这里$a = x$，$b = y$，所以$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$。
综上，（1）$(m + n - 2)^{2}$；（2）$(x + y)^{2}$。
解：
把$(m + n)$看成一个整体，设$a=m + n$，则原式变为$a^{2}-4a + 4$。
根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，这里$a^{2}-4a + 4=a^{2}-2× a×2+2^{2}$，所以$a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}$。
再把$a=m + n$代回，得到$(m + n)^{2}-4(m + n)+4=(m + n - 2)^{2}$。
2. 对于$(x - y)^{2}+4xy$：
解：
先根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$展开$(x - y)^{2}$，$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$。
则原式$(x - y)^{2}+4xy=x^{2}-2xy + y^{2}+4xy$。
合并同类项：$x^{2}-2xy + y^{2}+4xy=x^{2}+2xy + y^{2}$。
再根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，这里$a = x$，$b = y$，所以$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$。
综上，（1）$(m + n - 2)^{2}$；（2）$(x + y)^{2}$。
题型4 已知$x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 10 = 0$,求$x + y$的值.
答案
解：
将$x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 10 = 0$进行变形：
$\begin{aligned}x^{2}+2x + 1 + y^{2}-6y + 9&=0\\(x + 1)^{2}+(y - 3)^{2}&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，要使两个非负的数相加为$0$，则$(x + 1)^{2}=0$且$(y - 3)^{2}=0$。
由$(x + 1)^{2}=0$可得$x=-1$；由$(y - 3)^{2}=0$可得$y = 3$。
所以$x + y=-1 + 3=2$。
综上，$x + y$的值为$2$。
将$x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 10 = 0$进行变形：
$\begin{aligned}x^{2}+2x + 1 + y^{2}-6y + 9&=0\\(x + 1)^{2}+(y - 3)^{2}&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，要使两个非负的数相加为$0$，则$(x + 1)^{2}=0$且$(y - 3)^{2}=0$。
由$(x + 1)^{2}=0$可得$x=-1$；由$(y - 3)^{2}=0$可得$y = 3$。
所以$x + y=-1 + 3=2$。
综上，$x + y$的值为$2$。
题型5 利用因式分解简便计算：
(1)$99^{2}+198 + 1$；
(2)$202^{2}+202×196 + 98^{2}$.
(1)$99^{2}+198 + 1$；
(2)$202^{2}+202×196 + 98^{2}$.
答案
1. 对于$99^{2}+198 + 1$：
解：
首先对式子进行变形，$99^{2}+198 + 1=99^{2}+2×99×1 + 1^{2}$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（这里$a = 99$，$b = 1$），则$99^{2}+2×99×1 + 1^{2}=(99 + 1)^{2}$。
计算$(99 + 1)^{2}=100^{2}=10000$。
2. 对于$202^{2}+202×196 + 98^{2}$：
解：
先对式子变形，$202^{2}+202×196 + 98^{2}=202^{2}+2×202×98+98^{2}$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（这里$a = 202$，$b = 98$），则$202^{2}+2×202×98 + 98^{2}=(202 + 98)^{2}$。
计算$(202+98)^{2}=300^{2}=90000$。
综上，（1）的结果为$10000$；（2）的结果为$90000$。
解：
首先对式子进行变形，$99^{2}+198 + 1=99^{2}+2×99×1 + 1^{2}$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（这里$a = 99$，$b = 1$），则$99^{2}+2×99×1 + 1^{2}=(99 + 1)^{2}$。
计算$(99 + 1)^{2}=100^{2}=10000$。
2. 对于$202^{2}+202×196 + 98^{2}$：
解：
先对式子变形，$202^{2}+202×196 + 98^{2}=202^{2}+2×202×98+98^{2}$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（这里$a = 202$，$b = 98$），则$202^{2}+2×202×98 + 98^{2}=(202 + 98)^{2}$。
计算$(202+98)^{2}=300^{2}=90000$。
综上，（1）的结果为$10000$；（2）的结果为$90000$。
