A 级
1.如图，$\triangle PMN$是等边三角形，$\angle APB = 120°$，求证$AM · PB = PN · AP$.

提示:证明△PMA∽△BNP.

证明：
∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°，PM=PN=MN．
∴∠PMA=180°-∠PMN=120°，∠PNB=180°-∠PNM=120°．
∵∠APB=120°，
∴∠PMA=∠PNB=∠APB=120°．
∵∠PMA=120°，
∴∠A+∠APM=60°．
∵∠APB=120°，
∴∠APM+∠MPN+∠NPB=120°．
∵∠MPN=60°，
∴∠APM+∠NPB=60°．
∴∠A=∠NPB．
∵∠PMA=∠PNB，∠A=∠NPB，
∴△PMA∽△BNP．
∴$\frac{AM}{NP}=\frac{AP}{BP}$．
∴AM·PB=PN·AP．

2.如图，在$\triangle ABC$中，$AD = DB$，$\angle 1 = \angle 2$，求证$\triangle ABC \backsim \triangle EAD$.

提示:证明∠B = ∠EAD,∠AED = ∠BAC.

证明：
∵ $AD = DB$，
∴ $\angle B = \angle BAD$。
∵ $\angle 1 = \angle 2$，
∴ $\angle BAC = \angle 1 + \angle BAD = \angle 2 + \angle B$。
在 $\triangle EBD$ 中，$\angle AED = \angle B + \angle 2$，
∴ $\angle AED = \angle BAC$。
∵ $\angle B = \angle BAD$，即 $\angle B = \angle EAD$，
∴ $\triangle ABC \backsim \triangle EAD$。

3.如图，$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$均为等边三角形，$BC$和$B'C'$的中点均为$D$，求证$AA' \perp CC'$.

提示:连接AD,A′D,延长AA′,交BC于点O,交CC′于点E.证明△A′AD∽△C′CD,则∠DAA′ = ∠DCC′,利用∠DAA′ + ∠DOA = ∠DCC′ + ∠COE = 90°.

证明：连接$AD$，$A'D$，延长$AA'$，交$BC$于点$O$，交$CC'$于点$E$。
$\because \triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$均为等边三角形，$D$为$BC$和$B'C'$的中点，
$\therefore AD \perp BC$，$A'D \perp B'C'$，$\angle CAD = \angle C'A'D = 30°$，
$\frac{AD}{CD} = \frac{A'D}{C'D} = \sqrt{3}$。
$\because \angle ADC = \angle A'DC' = 90°$，
$\therefore \angle ADC + \angle A'DC = \angle A'DC' + \angle A'DC$，即$\angle ADA' = \angle CDC'$。
$\because \frac{AD}{CD} = \frac{A'D}{C'D}$，
$\therefore \triangle A'AD \sim \triangle C'CD$，
$\therefore \angle DAA' = \angle DCC'$。
$\because \angle DAA' + \angle AOD = 90°$，$\angle AOD = \angle COE$，
$\therefore \angle DCC' + \angle COE = 90°$，
$\therefore \angle CEO = 90°$，即$AA' \perp CC'$。

4.如图，在正方形$ABCD$中，点$O$是$AC$与$BD$的交点，$\angle DAC$的平分线$AP$交$CD$于点$P$，$\angle BDC$的平分线$DQ$交$AC$于点$Q$，求证$\frac{BD}{CD} = \frac{AP}{BQ}$.

提示:证明△ACP∽△BCQ.

证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC=BD$，$CD=BC$，$\angle DAC=\angle BCD=45°$，$\angle ACD=\angle BDC=45°$。
∵$AP$平分$\angle DAC$，
∴$\angle CAP=\frac{1}{2}\angle DAC=22.5°$。
∵$DQ$平分$\angle BDC$，
∴$\angle CDQ=\frac{1}{2}\angle BDC=22.5°$。
在$\triangle CDQ$中，$\angle CQD=180°-\angle BCD-\angle CDQ=180°-45°-22.5°=112.5°$，
∴$\angle BQC=180°-\angle CQD=67.5°$。
在$\triangle ACP$中，$\angle APC=180°-\angle ACD-\angle CAP=180°-45°-22.5°=112.5°$，
∴$\angle BQC=180°-\angle APC=67.5°$。
∵$\angle ACP=\angle BCQ=45°$，$\angle APC=\angle BQC=67.5°$，
∴$\triangle ACP\backsim\triangle BCQ$。
∴$\frac{AP}{BQ}=\frac{AC}{BC}$。
∵$AC=BD$，$BC=CD$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AP}{BQ}$。
即$\frac{BD}{CD}=\frac{AP}{BQ}$。