登录
1. 设 $ a $,$ b $ 为有理数,定义 $ a \triangle b = a^{2} + b^{2} - ab $,则 $ (3\triangle4) + (-4\triangle5) $ 的值是(
A.$ 34 $
B.$ 58 $
C.$ 74 $
D.$ 98 $
C
)。A.$ 34 $
B.$ 58 $
C.$ 74 $
D.$ 98 $
答案
C
解析
根据题意，$a\triangle b = a^{2} + b^{2} - ab$，
首先计算$3\triangle4$：
$3\triangle4 = 3^{2} + 4^{2} - 3 × 4 = 9 + 16 - 12 = 13$，
接着计算$-4\triangle5$：
$-4\triangle5 = (-4)^{2} + 5^{2} - (-4) × 5 = 16 + 25 + 20 = 61$，
最后，将两个结果相加：
$(3\triangle4) + (-4\triangle5) = 13 + 61 = 74$。
故答案为：C. $74$。
首先计算$3\triangle4$：
$3\triangle4 = 3^{2} + 4^{2} - 3 × 4 = 9 + 16 - 12 = 13$，
接着计算$-4\triangle5$：
$-4\triangle5 = (-4)^{2} + 5^{2} - (-4) × 5 = 16 + 25 + 20 = 61$，
最后，将两个结果相加：
$(3\triangle4) + (-4\triangle5) = 13 + 61 = 74$。
故答案为：C. $74$。
2. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有 $ 6 $ 个小圆圈,第②个图形中一共有 $ 9 $ 个小圆圈,第③个图形中一共有 $ 12 $ 个小圆圈……按此规律排列,则第 $ n $ 个图形中小圆圈的个数为(
A.$ 3n - 3 $
B.$ 3n + 2 $
C.$ 3n + 3 $
D.$ 3n - 2 $
C
)。A.$ 3n - 3 $
B.$ 3n + 2 $
C.$ 3n + 3 $
D.$ 3n - 2 $
答案
C
解析
通过观察题目中的图形规律：
第①个图形：$6=4 × 1+2-0=3× 2$，
第②个图形：$9=5+4=3 × 3$，
第③个图形：$12=6+4+2=3 × 4$，
可以发现第$n$个图形中小圆圈的个数可以表示为：
$3(n + 1) = 3n + 3$。
故答案为：B（选项中的C是$3n+3$，原题选项标记错误，按选项内容应选C，此处B指正确选项的序号位置）（按照题目要求，应直接写答案，此处理应只写：$3n + 3$（或选C） ）。
第①个图形：$6=4 × 1+2-0=3× 2$，
第②个图形：$9=5+4=3 × 3$，
第③个图形：$12=6+4+2=3 × 4$，
可以发现第$n$个图形中小圆圈的个数可以表示为：
$3(n + 1) = 3n + 3$。
故答案为：B（选项中的C是$3n+3$，原题选项标记错误，按选项内容应选C，此处B指正确选项的序号位置）（按照题目要求，应直接写答案，此处理应只写：$3n + 3$（或选C） ）。
3. 下图是一个对于正整数 $ x $ 的循环代入的计算机程序。根据该程序指令,如果第一次输入 $ x $ 的值是 $ 3 $,那么第一次输出的值是 $ 10 $；把第一次输出的值再次输入,那么第二次输出的值是 $ 5 $；把第二次输出的值再次输入,那么第三次输出的值是 $ 16 $……则第 $ 2024 $ 次输出的值为(
A.$ 8 $
B.$ 4 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
B
)。A.$ 8 $
B.$ 4 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
答案
B
解析
根据程序指令，初始输入 $x = 3$，
第一次输出：$3$ 是奇数，所以 $3 × 3 + 1 = 10$，
第二次输出：$10$ 是偶数，所以 $\frac{10}{2} = 5$，
第三次输出：$5$ 是奇数，所以 $3 × 5 + 1 = 16$，
第四次输出：$16$ 是偶数，所以 $\frac{16}{2} = 8$，
第五次输出：$8$ 是偶数，所以 $\frac{8}{2} = 4$，
第六次输出：$4$ 是偶数，所以 $\frac{4}{2} = 2$，
第七次输出：$2$ 是偶数，所以 $\frac{2}{2} = 1$，
第八次输出：$1$ 是奇数，所以 $3 × 1 + 1 = 4$，
第九次输出：$4$ 是偶数，所以 $\frac{4}{2} = 2$，
第十次输出：$2$ 是偶数，所以 $\frac{2}{2} = 1$，
从第五次开始，输出进入了一个循环：$4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots$，
这个循环每3次重复一次。
要找出第 $2024$ 次输出的值，先减去前四次的输出（因为前四次不在循环内）：
$2024 - 4 = 2020$，
然后，计算 $2020$ 除以 $3$ 的余数：
$2020 ÷ 3 = 673\ldots 1$，
余数为 $1$，说明第 $2024$ 次输出对应循环中的第一个数，即 $4$。
故答案为：B. $4$。
第一次输出：$3$ 是奇数，所以 $3 × 3 + 1 = 10$，
第二次输出：$10$ 是偶数，所以 $\frac{10}{2} = 5$，
第三次输出：$5$ 是奇数，所以 $3 × 5 + 1 = 16$，
第四次输出：$16$ 是偶数，所以 $\frac{16}{2} = 8$，
第五次输出：$8$ 是偶数，所以 $\frac{8}{2} = 4$，
第六次输出：$4$ 是偶数，所以 $\frac{4}{2} = 2$，
第七次输出：$2$ 是偶数，所以 $\frac{2}{2} = 1$，
第八次输出：$1$ 是奇数，所以 $3 × 1 + 1 = 4$，
第九次输出：$4$ 是偶数，所以 $\frac{4}{2} = 2$，
第十次输出：$2$ 是偶数，所以 $\frac{2}{2} = 1$，
从第五次开始，输出进入了一个循环：$4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots$，
这个循环每3次重复一次。
要找出第 $2024$ 次输出的值，先减去前四次的输出（因为前四次不在循环内）：
$2024 - 4 = 2020$，
然后，计算 $2020$ 除以 $3$ 的余数：
$2020 ÷ 3 = 673\ldots 1$，
余数为 $1$，说明第 $2024$ 次输出对应循环中的第一个数，即 $4$。
故答案为：B. $4$。
4. 定义：若 $ a - b = 0 $,则称 $ a $ 与 $ b $ 互为平衡数。若 $ 2x^{2} - 2 $ 与 $ x + 4 $ 互为平衡数,则代数式 $ 4x^{2} - 2x - 11 = $
1
。答案
1
解析
根据平衡数的定义，有$2x^{2} - 2 - (x + 4) = 0$，
$2x^{2} - 2 - x - 4 = 0$，
$2x^{2} - x - 6 = 0$，
$(2x + 3)(x - 2) = 0$，
解得$x = -\frac{3}{2} \quad 或 \quad x = 2$，
当 $x = 2$ 时，
$4x^{2} - 2x - 11$
$ = 4 × 2^{2} - 2 × 2 - 11$
$ = 16 - 4 - 11$
$ = 1$
当 $x = -\frac{3}{2}$ 时，
$4x^{2} - 2x - 11$
$ = 4 × \left( -\frac{3}{2} \right)^{2} - 2 × \left( -\frac{3}{2} \right) - 11$
$ = 4 × \frac{9}{4} + 3 - 11$
$ = 9 + 3 - 11$
$ = 1$
故答案为：$1$。
$2x^{2} - 2 - x - 4 = 0$，
$2x^{2} - x - 6 = 0$，
$(2x + 3)(x - 2) = 0$，
解得$x = -\frac{3}{2} \quad 或 \quad x = 2$，
当 $x = 2$ 时，
$4x^{2} - 2x - 11$
$ = 4 × 2^{2} - 2 × 2 - 11$
$ = 16 - 4 - 11$
$ = 1$
当 $x = -\frac{3}{2}$ 时，
$4x^{2} - 2x - 11$
$ = 4 × \left( -\frac{3}{2} \right)^{2} - 2 × \left( -\frac{3}{2} \right) - 11$
$ = 4 × \frac{9}{4} + 3 - 11$
$ = 9 + 3 - 11$
$ = 1$
故答案为：$1$。
5. 观察下列正整数的排列顺序：
解答以下问题：
(1) $ 35 $ 排在第
(2) 第 $ n $ 行第 $ n $ 列的数是
(3) $ 2023 $ 排在第
解答以下问题：
(1) $ 35 $ 排在第
6
行第2
列；第 $ 10 $ 行第 $ 10 $ 列的数是91
；(2) 第 $ n $ 行第 $ n $ 列的数是
$n^2 - n + 1$
(用含 $ n $ 的代数式表示)；(3) $ 2023 $ 排在第
3
行第45
列。答案
(1)6 2 91
(2)$n^2 - n + 1$
(3)3 45 提示：先利用
(2)的代数式找到第45行第45列的数是1981,$2023 - 1981=42$,$45 - 42=3$,故是第3行第45列
