1. 下列方程变形正确的是()
A.若$x + 2 = 1$,则$x = 1 + 2$
B.若$2x = 6$,则$x = 6 - 2$
C.若$6x = 3$,则$x = 2$
D.若$\frac{2}{3}x = 7$,则$x = 7 ÷ (\frac{2}{3})$

D

A. 方程 $x + 2 = 1$，根据等式性质，两边同时减去2，应得到 $x = 1 - 2$，所以A选项错误。
B. 方程 $2x = 6$，根据等式性质，两边同时除以2，应得到 $x = 3$（或 $x = 6 {÷} 2$），所以B选项错误。
C. 方程 $6x = 3$，根据等式性质，两边同时除以6，应得到 $x = \frac{1}{2}$（或 $x = 3 {÷} 6$），所以C选项错误。
D. 方程 $\frac{2}{3}x = 7$，根据等式性质，两边同时乘以 $\frac{3}{2}$（或除以 $\frac{2}{3}$），得到 $x = 7 {÷} (\frac{2}{3})$（或 $x = 7 × (\frac{3}{2})$），所以D选项正确。

2. 下列说法正确的是()

A.在等式$ab = ac两边除以a$,可得$b = c$
B.在等式$a = b两边除以(c^{2} + 1)$,可得$\frac{a}{c^{2} + 1} = \frac{b}{c^{2} + 1}$
C.在等式$\frac{b}{a} = \frac{c}{a}两边除以a$,可得$b = c$
D.在等式$2x = 2a - b两边同时除以2$,可得$x = a - b$

B

A. 对于等式 $ab = ac$，若要在两边同时除以 $a$，必须确保 $a \neq 0$。由于题目没有给出 $a \neq 0$ 的条件，因此不能确定 $b = c$ 一定成立，故 A 选项错误。
B. 对于等式 $a = b$，在两边同时除以 $c^2 + 1$（由于 $c^2 + 1$ 总是大于 0，即不等于 0），可以得到 $\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$，故 B 选项正确。
C. 对于等式 $\frac{b}{a} = \frac{c}{a}$，若要在两边同时乘以 $a$（或理解为“除以 $\frac{1}{a}$”），必须确保 $a \neq 0$。虽然等式两边分母相同，但题目中的操作描述是“两边除以 $a$”，这是不准确的，应该是两边同时乘以 $a$。由于操作描述错误，故 C 选项错误。
D. 对于等式 $2x = 2a - b$，若两边同时除以 2，应得到 $x = a - \frac{b}{2}$，而不是 $x = a - b$，故 D 选项错误。

3. 已知$x^{2} - 3x - 12 = 0$,则式子$-x^{2} + 3x + 5$的值是()
A.17
B.-17
C.7
D.-7

D

已知 $x^{2} - 3x - 12 = 0$，可得 $x^{2} - 3x = 12$。
将 $x^{2} - 3x = 12$ 代入 $-x^{2} + 3x + 5$ 中，得：
$-x^{2} + 3x + 5 = -(x^{2} - 3x) + 5 = -12 + 5 = -7$。

4. 已知等式$3a = 2b + 5$,则下列等式中不一定成立的是()
A.$3a - 5 = 2b$
B.$3a + 1 = 2b + 6$
C.$3ac = 2bc + 5$
D.$a = \frac{2}{3}b + \frac{5}{3}$

C

已知等式 $3a = 2b + 5$，
选项A：两边同时减5，得 $3a - 5 = 2b$，一定成立。
选项B：两边同时加1，得 $3a + 1 = 2b + 6$，一定成立。
选项C：两边同时乘 $c$，得 $3ac = 2bc + 5c$（原式为 $+5$，除非 $c=1$，否则不成立），故不一定成立。
选项D：两边同时除以3，得 $a = \frac{2}{3}b + \frac{5}{3}$，一定成立。

5. 若在等式$24(x + 3) = 3(x + 3)$的两边同时除以$(x + 3)$就会得到$24 = 3$,而我们知道$24 \neq 3$,则由此可以猜测$x + 3 = $。

0

等式两边同时除以一个数（或式子）时，这个数（或式子）不能为0。若等式$24(x + 3) = 3(x + 3)$两边同时除以$(x + 3)$得到$24 = 3$，矛盾，说明除数$(x + 3) = 0$。

6. 将方程$x + 2y = 6$变形为用含y的式子表示x,那么$x = $。

$6 - 2y$

根据等式的基本性质，对方程$x + 2y = 6$进行变形，在等式两边同时减去$2y$，得到$x + 2y-2y = 6 - 2y$，即$x = 6 - 2y$。

7. 我们把“如果$a = b$,那么$b = a$”称为等式的对称性。
(1) 根据等式的对称性,由$m(a + b + c) = am + bm + cm$可得到等式：；
(2) 利用(1)中的结论,求$-8.57 × 3.14 + 1.81 × 3.14 - 3.24 × 3.14$的值。

(1) 根据等式的对称性，由 $m(a + b + c) = am + bm + cm$ 可得到等式：$am + bm + cm = m(a + b + c)$。
(2)利用(1)中的结论，我们可以将原式 $-8.57 × 3.14 + 1.81 × 3.14 - 3.24 × 3.14$ 改写为 $3.14 × (-8.57 + 1.81 - 3.24)$。
计算括号内的数值，得到：
$-8.57 + 1.81 - 3.24 = -10$。
将这个结果乘以 $3.14$，得到：
$3.14 × (-10) = -31.4$。
所以，$-8.57 × 3.14 + 1.81 × 3.14 - 3.24 × 3.14 = -31.4$。