12. 计算：$|-\sqrt{4}|-(\frac{1}{3})^{-1}+2025^{0}$.

$|-\sqrt{4}| = 2$，
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$，
$2025^{0} = 1$，
所以，$|-\sqrt{4}| - (\frac{1}{3})^{-1} + 2025^{0} = 2 - 3 + 1 = 0$。

13. 先化简,再求值：$(a + 1-\frac{5 + 2a}{a + 1})÷\frac{a^{2}+4a + 4}{a + 1}$,其中$a= \sqrt{9}+|-2|-(\frac{1}{2})^{-1}$.

$\frac{1}{5}$

化简过程：
原式$=(a + 1 - \frac{5 + 2a}{a + 1})÷\frac{a^{2}+4a + 4}{a + 1}$
1. 化简括号内式子：
$a + 1 - \frac{5 + 2a}{a + 1} = \frac{(a + 1)^2 - (5 + 2a)}{a + 1} = \frac{a^2 + 2a + 1 - 5 - 2a}{a + 1} = \frac{a^2 - 4}{a + 1}$
2. 转化除法为乘法：
$\frac{a^2 - 4}{a + 1}÷\frac{(a + 2)^2}{a + 1} = \frac{a^2 - 4}{a + 1}·\frac{a + 1}{(a + 2)^2}$
3. 因式分解并约分：
$\frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 1}·\frac{a + 1}{(a + 2)^2} = \frac{a - 2}{a + 2}$
计算$a$的值：
$a = \sqrt{9} + |-2| - (\frac{1}{2})^{-1} = 3 + 2 - 2 = 3$
代入求值：
当$a = 3$时，$\frac{a - 2}{a + 2} = \frac{3 - 2}{3 + 2} = \frac{1}{5}$

14. 如果$x^{n}= y$,那么我们规定$(x,y]= n$.例如：因为$3^{2}= 9$,所以$(3,9]= 2$.
(1) 理解：根据上述规定填空.
① $(2,8]= $；$(2,\frac{1}{4}]= $；
② 若$(2,y]= 5$,则$y= $；若$(x,64]= 3$,则$x= $；
(2) 应用：已知$(4,12]= a$,$(4,5]= b$,$(4,y]= c$,若$a + b = c$,求$y$的值；

(3) 拓展：若$(5,10]= a$,$(5,50]= b$,求$a - b$的值.

(1)①
根据规定，设$(2,8] = n$，则$2^{n}=8$，因为$2^{3}=8$，所以$(2,8]=3$；
设$(2,\frac{1}{4}]=m$，则$2^{m}=\frac{1}{4}=2^{-2}$，所以$(2,\frac{1}{4}]=-2$。
②
因为$(2,y]=5$，根据规定$2^{5}=y$，所以$y = 32$；
因为$(x,64]=3$，则$x^{3}=64$，因为$4^{3}=64$，所以$x = 4$。
(2)
因为$(4,12]=a$，所以$4^{a}=12$；
因为$(4,5]=b$，所以$4^{b}=5$；
因为$(4,y]=c$，所以$4^{c}=y$。
又因为$a + b = c$，则$4^{a + b}=4^{c}$，根据同底数幂乘法法则$4^{a+b}=4^{a}×4^{b}$，把$4^{a}=12$，$4^{b}=5$代入可得$y = 4^{c}=4^{a + b}=4^{a}×4^{b}=12×5 = 60$。
(3)
因为$(5,10]=a$，所以$5^{a}=10$；
因为$(5,50]=b$，所以$5^{b}=50$。
则$\frac{5^{a}}{5^{b}}=5^{a - b}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}=5^{-1}$，所以$a - b=-1$。
综上，答案依次为：(1)①$3$，$-2$；②$32$，$4$；(2)$60$；(3)$-1$。