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8. 如图所示,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD= AE,AD与CE交于点F,则∠DFC的度数为(
A.60°
B.45°
C.40°
D.30°
A
)A.60°
B.45°
C.40°
D.30°
答案
A
解析
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°。
在△ABD和△CAE中，AB=CA，∠ABD=∠CAE=60°，BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS）。
∴∠BAD=∠ACE。
∵∠DFC是△AFC的外角，∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°。
在△ABD和△CAE中，AB=CA，∠ABD=∠CAE=60°，BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS）。
∴∠BAD=∠ACE。
∵∠DFC是△AFC的外角，∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°。
9. 已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点,若∠APC= 104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为(
A.14°
B.16°
C.24°
D.26°
B
)A.14°
B.16°
C.24°
D.26°
答案
B
解析
在等边△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，设P在BC上，∠APC=104°。在△APC中，∠PAC=180°-∠APC-∠ACB=180°-104°-60°=16°，则∠BAP=∠BAC-∠PAC=60°-16°=44°。
将△ABP绕点A顺时针旋转60°得△ACQ，由旋转性质知：AP=AQ，BP=CQ，∠BAP=∠CAQ=44°，∠APB=∠AQC。∵旋转角为60°，∴∠PAQ=60°，故△APQ为等边三角形，PQ=AP。
在△PQC中，PQ=AP，CQ=BP，PC=PC，即△PQC是以AP、BP、CP为边的三角形。∵∠APB=180°-∠APC=76°（邻补角），∴∠AQC=76°。∵△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，∴∠PQC=∠AQC-∠AQP=76°-60°=16°。
∠PCQ=∠ACB+∠ACQ=60°+60°=120°（∠ACQ=∠ABP=60°，全等三角形对应角），∠QPC=180°-∠PCQ-∠PQC=180°-120°-16°=44°。△PQC内角为120°、44°、16°，最小内角为16°。
将△ABP绕点A顺时针旋转60°得△ACQ，由旋转性质知：AP=AQ，BP=CQ，∠BAP=∠CAQ=44°，∠APB=∠AQC。∵旋转角为60°，∴∠PAQ=60°，故△APQ为等边三角形，PQ=AP。
在△PQC中，PQ=AP，CQ=BP，PC=PC，即△PQC是以AP、BP、CP为边的三角形。∵∠APB=180°-∠APC=76°（邻补角），∴∠AQC=76°。∵△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，∴∠PQC=∠AQC-∠AQP=76°-60°=16°。
∠PCQ=∠ACB+∠ACQ=60°+60°=120°（∠ACQ=∠ABP=60°，全等三角形对应角），∠QPC=180°-∠PCQ-∠PQC=180°-120°-16°=44°。△PQC内角为120°、44°、16°，最小内角为16°。
10. 如图所示,△ABC为等边三角形,点D是BC边上异于B,C的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。若BC边上的高AM= 10,则DE+DF=
10
。答案
$10$
解析
连接$AD$，
由于$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$AB=AC=BC$，且$\angle BAC = 60°$（等边三角形的性质）。
又因为$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$，
且$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$AM \perp BC$，
根据三角形面积公式，有：
$\frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × AC × DF$
由于$AB = AC = BC$，可以化简为：
$\frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × BC × DE + \frac{1}{2} × BC × DF$
$\frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × BC × (DE + DF)$
两边同时除以$\frac{1}{2} × BC$，得到：
$AM = DE + DF$
已知$AM = 10$，所以：
$DE + DF = 10$
由于$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$AB=AC=BC$，且$\angle BAC = 60°$（等边三角形的性质）。
又因为$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$，
且$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$AM \perp BC$，
根据三角形面积公式，有：
$\frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × AC × DF$
由于$AB = AC = BC$，可以化简为：
$\frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × BC × DE + \frac{1}{2} × BC × DF$
$\frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × BC × (DE + DF)$
两边同时除以$\frac{1}{2} × BC$，得到：
$AM = DE + DF$
已知$AM = 10$，所以：
$DE + DF = 10$
11. (2025·阜阳)如图所示,在△ABC中,AB= AC,D为AC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE= DF,连接BD,点G在BC的延长线上,且CD= CG。
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若BF= 3,求线段FG的长。
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若BF= 3,求线段FG的长。
答案
(1)见证明过程；(2)3。
解析
(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
∵D为AC中点，∴AD=DC。
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=DC，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠A=∠DCF。
∵∠DCF=∠ACB，∴∠A=∠ACB。
∴∠A=∠ABC=∠ACB，故△ABC是等边三角形。
(2)解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°。
∵D为AC中点，∴CD=1/2AC=1/2BC。设BC=x，则CD=1/2x，CG=CD=1/2x。
∵BF=3，BC=x，∴FC=BC-BF=x-3。
在Rt△DFC中，∠DCF=60°，∴∠CDF=30°，∴FC=1/2CD=1/2×(1/2x)=x/4。
∴x-3=x/4，解得x=4，即BC=4。
∴FC=4-3=1，CG=1/2×4=2。
∴FG=FC+CG=1+2=3。
∵D为AC中点，∴AD=DC。
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=DC，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠A=∠DCF。
∵∠DCF=∠ACB，∴∠A=∠ACB。
∴∠A=∠ABC=∠ACB，故△ABC是等边三角形。
(2)解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°。
∵D为AC中点，∴CD=1/2AC=1/2BC。设BC=x，则CD=1/2x，CG=CD=1/2x。
∵BF=3，BC=x，∴FC=BC-BF=x-3。
在Rt△DFC中，∠DCF=60°，∴∠CDF=30°，∴FC=1/2CD=1/2×(1/2x)=x/4。
∴x-3=x/4，解得x=4，即BC=4。
∴FC=4-3=1，CG=1/2×4=2。
∴FG=FC+CG=1+2=3。
12. (2024·广元)如图所示,已知点B,C,D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形,BE交AC于F,AD交CE于H,连接FH。
求证：(1)△BCE≌△ACD；
(2)△CHF为等边三角形。
求证：(1)△BCE≌△ACD；
(2)△CHF为等边三角形。
答案
(1) ∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°。
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD。
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=AC\\ ∠BCE=∠ACD\\ CE=CD\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）。
(2) 由（1）知△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD。
∵∠ACB=∠DCE=60°，点B，C，D共线，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCE=60°，即∠FCH=60°。
在△BCF和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CBF=∠CAH\\ BC=AC\\ ∠BCF=∠ACH=60°\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH。
∵CF=CH，∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形。
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°。
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD。
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=AC\\ ∠BCE=∠ACD\\ CE=CD\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）。
(2) 由（1）知△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD。
∵∠ACB=∠DCE=60°，点B，C，D共线，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCE=60°，即∠FCH=60°。
在△BCF和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CBF=∠CAH\\ BC=AC\\ ∠BCF=∠ACH=60°\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH。
∵CF=CH，∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形。
