1. 若等腰三角形的一个外角为 $ 150^{\circ} $,则它的底角度数为()
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 75^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $或 $ 75^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

C

等腰三角形的一个外角为$150^{\circ}$，则相邻的内角为$180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$。
若$30^{\circ}$是顶角，则底角为$\frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$。
若$30^{\circ}$是底角，则另一个底角也为$30^{\circ}$（等腰三角形底角相等），此时顶角为$180^{\circ} - 2 × 30^{\circ} = 120^{\circ}$，这种情况也成立。
因此，底角可能为$30^{\circ}$或$75^{\circ}$。

2. 定义：在一个三角形中,如果一个内角度数是另一个内角度数的二倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”. 若等腰三角形 $ ABC $为“倍角三角形”,则 $ \triangle ABC $ 的顶角度数为.

36°或90°

设等腰三角形顶角为∠A，底角为∠B=∠C。
情况1：顶角是底角的2倍，即∠A=2∠B。由三角形内角和得∠A+2∠B=180°，代入得2∠B+2∠B=180°，解得∠B=45°，∠A=90°。
情况2：底角是顶角的2倍，即∠B=2∠A。由三角形内角和得∠A+2∠B=180°，代入得∠A+4∠A=180°，解得∠A=36°。
综上，顶角度数为36°或90°。

3. 已知等腰三角形的一边长等于 $ 6 \mathrm{~cm} $,一边长等于 $ 7 \mathrm{~cm} $,则它的周长为.

周长为$19\mathrm{cm}$或$20\mathrm{cm}$（按照题目要求填写格式这里应填具体数值组合对应的选择项，若为填空题则答案为$19\mathrm{cm}$或$20\mathrm{cm}$ ，若按给定格式要求，假设选项有对应内容则选对应项）。

本题中等腰三角形两腰长相等，题目中未明确给出边长为$6\mathrm{cm}$和$7\mathrm{cm}$的边是腰长还是底边长，故需分情况讨论。
情况一：假设腰长为$6\mathrm{cm}$，底边长为$7\mathrm{cm}$。
由于等腰三角形两腰长相等，所以此时三角形三边长分别为$6\mathrm{cm}$，$6\mathrm{cm}$，$7\mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，$6 + 6 = 12\gt 7$，$6 + 7 = 13\gt 6$，$7 - 6 = 1\lt 6$，满足三边关系，此时周长为$6 + 6 + 7 = 19\mathrm{cm}$。
情况二：假设腰长为$7\mathrm{cm}$，底边长为$6\mathrm{cm}$。
此时三角形三边长分别为$7\mathrm{cm}$，$7\mathrm{cm}$，$6\mathrm{cm}$。
同样根据三角形三边关系，$7 + 7 = 14\gt 6$，$7 + 6 = 13\gt 7$，$7 - 6 = 1\lt 7$，满足三边关系，此时周长为$7 + 7 + 6 = 20\mathrm{cm}$。

4. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 $ 40^{\circ} $,则这个等腰三角形的底角为.

$65^{\circ}$或$25^{\circ}$（按照题目要求若为填空题直接填写结果即可，若为选择题根据选项填写对应字母）

本题可分情况讨论该等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质来求解底角的度数。
设等腰三角形为$\triangle ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高。
情况一：当该等腰三角形为锐角三角形时
已知一腰上的高与另一腰的夹角是$40^{\circ}$，即$\angle ABD = 40^{\circ}$，因为$BD\bot AC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。
因为$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得底角$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ} - 50^{\circ}) = 65^{\circ}$。
情况二：当该等腰三角形为钝角三角形时
此时$\angle A$是钝角，一腰上的高与另一腰的夹角是$40^{\circ}$，即$\angle ABD = 40^{\circ}$，因为$BD\bot AC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$，那么$\angle BAC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$。
因为$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得底角$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ} - 130^{\circ}) = 25^{\circ}$。

5. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ D $,交直线 $ AC $ 于点 $ E $,$ \angle AEB = 80^{\circ} $,求 $ \angle EBC $ 的度数.

情况一：点E在线段AC上
∵DE垂直平分AB，∴EA=EB。
∴∠EAB=∠EBA。
在△AEB中，∠AEB=80°，
∠EAB=∠EBA=(180°-80°)/2=50°。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
∠BAC=∠EAB=50°，
∠ABC=(180°-50°)/2=65°。
∠EBC=∠ABC-∠EBA=65°-50°=15°。
情况二：点E在CA延长线上
∵DE垂直平分AB，∴EA=EB。
∴∠EAB=∠EBA。
在△AEB中，∠AEB=80°，
∠EAB=∠EBA=(180°-80°)/2=50°。
∵∠BAC+∠EAB=180°，
∠BAC=180°-50°=130°。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
∠ABC=(180°-130°)/2=25°。
∠EBC=∠EBA-∠ABC=50°-25°=25°。
结论：∠EBC的度数为15°或25°。

6. (2024·重庆)如图所示,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (0,2) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (4,0) $,在 $ y $ 轴上取一点 $ C $,使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形,符合条件的 $ C $ 点有个.

$4$

本题可分三种情况来讨论，即$AB = AC$，$BA = BC$，$CA = CB$，分别求出每种情况下满足条件的点$C$的个数。
情况一：当$AB = AC$时
已知$A(0,2)$，$B(4,0)$，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，可得$AB=\sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 2)^2}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为点$C$在$y$轴上，设$C(0,y)$，$A(0,2)$，则$AC = |y - 2|$，由$AB = AC$可得$|y - 2| = 2\sqrt{5}$，即$y - 2 = 2\sqrt{5}$或$y - 2 = -2\sqrt{5}$，解得$y = 2 + 2\sqrt{5}$或$y = 2 - 2\sqrt{5}$，此时有$2$个满足条件的点$C$。
情况二：当$BA = BC$时
设$C(0,y)$，$B(4,0)$，则$BC=\sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - y)^2}=\sqrt{16 + y^2}$，又因为$AB = 2\sqrt{5}$，由$BA = BC$可得$\sqrt{16 + y^2}=2\sqrt{5}$，两边同时平方得$16 + y^2 = 20$，即$y^2 = 4$，解得$y = 2$或$y = -2$。
当$y = 2$时，$C$点与$A$点重合，不能构成三角形，舍去，所以此时只有$1$个满足条件的点$C$，其坐标为$(0,-2)$。
情况三：当$CA = CB$时
设$C(0,y)$，则$CA = |y - 2|$，$CB=\sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - y)^2}=\sqrt{16 + y^2}$，由$CA = CB$可得$|y - 2| = \sqrt{16 + y^2}$，两边同时平方得$(y - 2)^2 = 16 + y^2$，展开得$y^2 - 4y + 4 = 16 + y^2$，移项化简可得$-4y = 12$，解得$y = -3$，此时有$1$个满足条件的点$C$。
综合以上三种情况，满足条件的点$C$共有$4$个。

7. 等腰三角形的底边长为 $ 5 \mathrm{~cm} $,一腰上的中线把其周长分为相差 $ 3 \mathrm{~cm} $ 的两部分,求等腰三角形的腰长.

$ 8 \, cm $

设等腰三角形的腰长为 $ x \, cm $，腰上的中线将腰分为两段，每段长 $ \frac{x}{2} \, cm $。中线分周长为两部分：$ \left( x + \frac{x}{2} \right) $ 和 $ \left( 5 + \frac{x}{2} \right) $。
情况1：$ \left( x + \frac{x}{2} \right) - \left( 5 + \frac{x}{2} \right) = 3 $
化简得：$ x - 5 = 3 $，解得 $ x = 8 $。
检验三边关系：$ 8 + 8 ＞ 5 $，$ 8 + 5 ＞ 8 $，成立。
情况2：$ \left( 5 + \frac{x}{2} \right) - \left( x + \frac{x}{2} \right) = 3 $
化简得：$ 5 - x = 3 $，解得 $ x = 2 $。
检验三边关系：$ 2 + 2 = 4 ＜ 5 $，不成立，舍去。
综上，等腰三角形的腰长为 $ 8 \, cm $。