1. 边长为 2 的等边三角形的面积为.

$\sqrt{3}$

作等边三角形任一边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，高也是该边的中线。
已知等边三角形边长为$2$，则高把该等边三角形分成两个直角三角形，其中斜边为等边三角形的边长$2$，一条直角边为等边三角形边长的一半即$1$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可求出高$h=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得该等边三角形面积$S=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。

2. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起,若 $ AB = 6cm $,则阴影部分的面积是 $ cm^{2} $.

9/2

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6cm，∴AC=AB/2=3cm（30°角所对直角边是斜边一半）。另一个三角尺为等腰直角三角形，∠D=45°，∠E=90°，则∠ECD=45°，且AC//DE（垂直于同一直线的两直线平行）。∵AC//DE，∴∠AFC=∠D=45°（内错角相等）。在Rt△AFC中，∠ACF=90°，∠AFC=45°，∴∠CAF=45°，故AC=CF=3cm（等角对等边）。阴影部分面积S=AC×CF/2=3×3/2=9/2 cm²。

3. 直角三角形一条直角边长为 12,周长为 30,则斜边上的中线长为.

（此处应填写计算出的中线长度对应的选择，由于题目未给出选择项，直接给出数值答案的格式为）$6.5$（如果题目有选项则填写对应选项字母）。

设直角三角形的另一条直角边为 $a$，斜边为 $c$。
根据题意，周长为30，已知一条直角边为12，所以：
$a + 12 + c = 30$，
$a + c = 18 \quad (1)$，
由勾股定理，直角三角形的两直角边和斜边满足：
$a^2 + 12^2 = c^2$，
$a^2 + 144 = c^2 \quad (2)$，
从(1)式，可以得到：
$c = 18 - a$，
代入(2)式得：
$a^2 + 144 = (18 - a)^2$，
$a^2 + 144 = 324 - 36a + a^2$，
$36a = 180$，
$a = 5$，
代入(1)式得：
$c = 13$，
根据直角三角形的性质，斜边上的中线长度为斜边的一半，即：
$中线长度 = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$，
所以，斜边上的中线长为6.5（或$\frac{13}{2}$）。

4. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle A + \angle B = \angle C $,且 $ AC = \frac{1}{2}AB $,则 $ \angle A = $.

60°

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=∠C，故2∠C=180°，∠C=90°，△ABC为直角三角形，AB为斜边。AC=1/2AB，在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，故∠B=30°，∠A=180°-∠B-∠C=60°。

5. 已知 $ a,b,c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,且满足 $ (a - b)^{2} + |c^{2} - a^{2} - b^{2}| = 0 $,则下列对 $ \triangle ABC $ 的形状的判断准确的为 ()
A.直角三角形但非等腰三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形

C

由题意得，$(a - b)^{2} + |c^{2} - a^{2} - b^{2}| = 0$，
因为$(a - b)^{2} \geq 0$且$|c^{2} - a^{2} - b^{2}| \geq 0$，所以要使两者的和为0，则每一项都必须为0。
所以有：
$a - b = 0$，即$a = b$；
$c^{2} - a^{2} - b^{2} = 0$，即$c^{2} = a^{2} + b^{2}$。
由$a = b$知，$\triangle ABC$是等腰三角形；
由$c^{2} = a^{2} + b^{2}$知，$\triangle ABC$是直角三角形。
综合以上两点，$\triangle ABC$是等腰直角三角形。

6. 如图,一棵树因雪灾于 $ A $ 处折断,测得树梢触地点 $ B $ 到树根 $ C $ 处的距离为 4 米,折断的树枝 $ AB $ 与地面 $ BC $ 的夹角为 $ 45^{\circ} $,树干 $ AC $ 垂直于地面,那么此时在未折断前的高度为多少米(精确到 0.1 米,参考值: $ \sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73 $ )?

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=4米。
∵∠B=45°，∠C=90°，
∴∠A=45°，
∴AC=BC=4米。
由勾股定理得：AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}$=$\sqrt{4^2 + 4^2}$=$\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$≈4×1.41=5.64米。
未折断前高度为AC + AB≈4 + 5.64=9.64≈9.6米。
答：未折断前的高度约为9.6米。

7. 如图,等腰 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC, \angle C = 30^{\circ},AB \perp AD,AD = 2 $,求 $ BC $ 的长.

6

∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°-30°-30°=120°．
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°．
∵∠DAC=∠C=30°，∴AD=DC．
∵AD=2，∴DC=2．
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠B=30°，∴AD=1/2BD（30°角所对直角边等于斜边一半）．
∵AD=2，∴BD=2AD=4．
∴BC=BD+DC=4+2=6．

8. 将一副三角尺按如图所示的方式放置,点 $ C $ 在 $ FD $ 的延长线上,点 $ B $ 在 $ ED $ 上, $ AB // CF, \angle F = \angle ACB = 90^{\circ}, \angle E = 45^{\circ}, \angle A = 60^{\circ},AC = 10 $,求 $ CD $ 的长.

$15 - 5\sqrt{3}$

过点$ B $作$ BM \perp FD $于点$ M $。
在$ \triangle ACB $中，$ \angle ACB = 90° $，$ \angle A = 60° $，$ AC = 10 $，
$\angle ABC = 30°$，$ BC = AC \tan 60° = 10\sqrt{3} $。
因为$ AB // CF $，所以$ \angle BCM = \angle ABC = 30° $。
在$ \triangle BMC $中，$ BM = BC \sin 30° = 10\sqrt{3} × \frac{1}{2} = 5\sqrt{3} $，
$ CM = BC \cos 30° = 10\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 $。
在$ \triangle EFD $中，$ \angle F = 90° $，$ \angle E = 45° $，所以$ \angle EDF = 45° $，
$ \angle MDB = \angle EDF = 45° $，则$ MD = BM = 5\sqrt{3} $。
$ CD = CM - MD = 15 - 5\sqrt{3} $。
答案：$ 15 - 5\sqrt{3} $