8. 如图所示,已知 $ \odot O $ 和直线 $ l $,过圆心 $ O $ 作 $ OP \perp l $,$ P $ 为垂足,$ A、B、C $ 为直线 $ l $ 上的三个点,且 $ PA = 2 cm $,$ PB = 3 cm $,$ PC = 4 cm $,若 $ \odot O $ 的半径为 $ 5 cm $,$ OP = 4 cm $,判断 $ A,B,C $ 三点与 $ \odot O $ 的位置关系。

A在$\odot O$内部,B在$\odot O$上,C在$\odot O$外

解：连接 $OA$、$OB$、$OC$。
在 $Rt\triangle OPA$ 中，$OP=4\,cm$，$PA=2\,cm$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OP^{2}+PA^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\,cm$
因为 $2\sqrt{5}\approx4.47\,cm＜5\,cm$，所以点 $A$ 在 $\odot O$ 内部。
在 $Rt\triangle OPB$ 中，$OP=4\,cm$，$PB=3\,cm$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OP^{2}+PB^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5\,cm$
因为 $OB=5\,cm$，所以点 $B$ 在 $\odot O$ 上。
在 $Rt\triangle OPC$ 中，$OP=4\,cm$，$PC=4\,cm$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OP^{2}+PC^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\,cm$
因为 $4\sqrt{2}\approx5.66\,cm＞5\,cm$，所以点 $C$ 在 $\odot O$ 外部。
结论：$A$ 在 $\odot O$ 内部，$B$ 在 $\odot O$ 上，$C$ 在 $\odot O$ 外。

9. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 4 $,$ BC = 6 $,$ E $ 是矩形内部的一个动点,且 $ AE \perp BE $,求线段 $ CE $ 的最小值。

$2\sqrt{10}-2$

解：
∵四边形$ABCD$是矩形，$AB=4$，$BC=6$，
∴以$AB$为直径作圆，圆心为$AB$中点$O$，则$O$坐标为$(2,0)$（以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴建立坐标系），半径$OA=OB=2$。
∵$AE\perp BE$，
∴点$E$在以$AB$为直径的圆上。
点$C$坐标为$(4,6)$，则$OC=\sqrt{(4 - 2)^2+(6 - 0)^2}=\sqrt{4 + 36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
$CE$最小值为$OC - r=2\sqrt{10}-2$。
$2\sqrt{10}-2$

10. 如图,在 $ A $ 岛附近,半径约为 $ 250 km $ 的范围内是暗礁区,往北 $ 300 km $ 处有一灯塔 $ B $,往西 $ 400 km $ 处有一灯塔 $ C $,现有一艘渔船沿 $ CB $ 航线航行,则渔船是否会触礁？请说明理由。

会

在直角三角形$ABC$中，$AB = 300\ km$，$AC = 400\ km$，$\angle BAC = 90°$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{300^{2}+400^{2}} = 500\ km$。
设$A$到$BC$的距离为$h$，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot h$，
即$\frac{1}{2}×300×400=\frac{1}{2}×500× h$，解得$h = 240\ km$。
因为$240\ km＜250\ km$，所以渔船会触礁。
会

11. 如图,这是一个含有 $ 3 $ 个正方形的相框,其中 $ \angle BCD = \angle DEF = 90^{\circ} $,$ AB = 2 $,$ CD = 3 $,$ EF = 5 $,将它镶嵌在一个圆形的金属框上,使 $ A,G,H $ 三点刚好在金属框上,求该金属框的半径。

该金属框的半径为$\frac{5}{2}\sqrt{10}$