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1. 方程 $x^{2}-3x - 1 = 0$ 的两根分别是( )
A.$\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
B.$-1,-2$
C.$2,-1$
D.$\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
A.$\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
B.$-1,-2$
C.$2,-1$
D.$\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
答案
D
解析
解：对于方程 $x^{2}-3x - 1 = 0$，其中 $a=1$，$b=-3$，$c=-1$。
判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$。
由求根公式可得 $x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。
D
判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$。
由求根公式可得 $x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。
D
2. 对于方程 $2x^{2}-3x = -1$,下列说法不正确的是( )
A.该方程化成一般式为 $2x^{2}-3x + 1 = 0$
B.该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 $2,-3,1$
C.该方程的根为 $x_{1}= 1,x_{2}= \frac{1}{2}$
D.该方程的根为 $x_{1}= \frac{3+\sqrt{17}}{4},x_{2}= \frac{3-\sqrt{17}}{4}$
A.该方程化成一般式为 $2x^{2}-3x + 1 = 0$
B.该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 $2,-3,1$
C.该方程的根为 $x_{1}= 1,x_{2}= \frac{1}{2}$
D.该方程的根为 $x_{1}= \frac{3+\sqrt{17}}{4},x_{2}= \frac{3-\sqrt{17}}{4}$
答案
D
解析
将方程$2x^{2}-3x=-1$移项得$2x^{2}-3x + 1=0$，故A正确；
该方程的二次项系数为$2$，一次项系数为$-3$，常数项为$1$，故B正确；
对于方程$2x^{2}-3x + 1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=1$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×1=9 - 8=1$，
$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$，故C正确，D不正确。
D
该方程的二次项系数为$2$，一次项系数为$-3$，常数项为$1$，故B正确；
对于方程$2x^{2}-3x + 1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=1$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×1=9 - 8=1$，
$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$，故C正确，D不正确。
D
3. 实数 $a,b,c$ 满足 $a - b + c = 0$,则( )
A.$b^{2}-4ac＞0$
B.$b^{2}-4ac＜0$
C.$b^{2}-4ac\geq0$
D.$b^{2}-4ac\leq0$
A.$b^{2}-4ac＞0$
B.$b^{2}-4ac＜0$
C.$b^{2}-4ac\geq0$
D.$b^{2}-4ac\leq0$
答案
C
解析
由题意知 $a - b + c = 0$，即 $b = a + c$。
计算 $b^2 - 4ac$：
$\begin{aligned}b^2 - 4ac&=(a + c)^2 - 4ac\\&=a^2 + 2ac + c^2 - 4ac\\&=a^2 - 2ac + c^2\\&=(a - c)^2\end{aligned}$
因为任何实数的平方非负，所以 $(a - c)^2 \geq 0$，即 $b^2 - 4ac \geq 0$。
C
计算 $b^2 - 4ac$：
$\begin{aligned}b^2 - 4ac&=(a + c)^2 - 4ac\\&=a^2 + 2ac + c^2 - 4ac\\&=a^2 - 2ac + c^2\\&=(a - c)^2\end{aligned}$
因为任何实数的平方非负，所以 $(a - c)^2 \geq 0$，即 $b^2 - 4ac \geq 0$。
C
4. 一元二次方程 $3x^{2}= 4 - 2x$ 的根是______.
答案
$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$
解析
解：$3x^{2}+2x-4=0$
$a=3$，$b=2$，$c=-4$
$\Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4×3×(-4)=4+48=52$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{-2\pm2\sqrt{13}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$
$x=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$，$x=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$
$a=3$，$b=2$，$c=-4$
$\Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4×3×(-4)=4+48=52$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{-2\pm2\sqrt{13}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$
$x=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$，$x=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$
5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-2(k + 1)x + 3k + 1 = 0$ 有两个相等的实数根,求 $k$ 的值.
答案
$k=1$或$-\frac{1}{2}$
解析
解：因为方程是一元二次方程，所以$k\neq0$。
判别式$\Delta = [-2(k + 1)]^2 - 4k(3k + 1)$
$=4(k^2 + 2k + 1) - 12k^2 - 4k$
$=4k^2 + 8k + 4 - 12k^2 - 4k$
$=-8k^2 + 4k + 4$
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，即：
$-8k^2 + 4k + 4 = 0$
化简得$2k^2 - k - 1 = 0$
因式分解得$(2k + 1)(k - 1)=0$
解得$k=1$或$k=-\frac{1}{2}$
综上，$k=1$或$-\frac{1}{2}$
判别式$\Delta = [-2(k + 1)]^2 - 4k(3k + 1)$
$=4(k^2 + 2k + 1) - 12k^2 - 4k$
$=4k^2 + 8k + 4 - 12k^2 - 4k$
$=-8k^2 + 4k + 4$
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，即：
$-8k^2 + 4k + 4 = 0$
化简得$2k^2 - k - 1 = 0$
因式分解得$(2k + 1)(k - 1)=0$
解得$k=1$或$k=-\frac{1}{2}$
综上，$k=1$或$-\frac{1}{2}$
6. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}= 6x + 1$；
(2) $y^{2}-2y - 2 = 0$；
(3) $3x^{2}+6x + 3 = 0$；
(4) $x^{2}+17 = 8x$.
(1) $x^{2}= 6x + 1$；
(2) $y^{2}-2y - 2 = 0$；
(3) $3x^{2}+6x + 3 = 0$；
(4) $x^{2}+17 = 8x$.
答案
(1)$x_{1}=3+\sqrt{10}$,$x_{2}=3-\sqrt{10}$;
(2)$y_{1}=1+\sqrt{3}$,$y_{2}=1-\sqrt{3}$;
(3)$x_{1}=x_{2}=-1$;
(4)方程无实数根.
