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26. 在平行四边形ABCD中,AB= 10,BC= 16,边BC上的高AH= 6,P是边BC上的动点,以CP为半径的⊙C与边AD交于点E,F(点E在点F的左侧).
(1) 如图①,当⊙C经过点A时,求CP的长；
(2) 如图②,当⊙C经过点H时,求弦EF的长；
(3) 如图③,连接AP,当AP//CE时,求⊙C的半径及弦EF的长.
(1) 如图①,当⊙C经过点A时,求CP的长；
(2) 如图②,当⊙C经过点H时,求弦EF的长；
(3) 如图③,连接AP,当AP//CE时,求⊙C的半径及弦EF的长.
答案
(1) 在平行四边形ABCD中，AH是BC边上的高，AH=6，AB=10。在Rt△ABH中，$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。BC=16，故HC=BC-BH=16-8=8。在Rt△AHC中，$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。当⊙C经过点A时，CP=AC=10。
(2) 当⊙C经过点H时，半径CP=CH=8。AD//BC，AH⊥BC，过C作CG⊥AD于G，则CG=AH=6（平行线间距离）。⊙C中，弦EF在AD上，圆心C到EF距离d=CG=6。由垂径定理，$EF=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{28}=4\sqrt{7}$。
(3) 以B为原点，BC为x轴建系，B(0,0)，C(16,0)，H(8,0)，A(8,6)，P(16-r,0)。⊙C方程$(x-16)^2+y^2=r^2$，AD:y=6，交⊙C于E(16-√(r²-36),6)，F(16+√(r²-36),6)。AP斜率$k_{AP}=\frac{0-6}{(16-r)-8}=\frac{-6}{8-r}$，CE斜率$k_{CE}=\frac{6-0}{(16-\sqrt{r²-36})-16}=\frac{-6}{\sqrt{r²-36}}$。由AP//CE得$\frac{-6}{8-r}=\frac{-6}{\sqrt{r²-36}}$，解得r=25/4。EF=2√(r²-36)=2√((25/4)²-36)=7/2。
(1) 10
(2) 4√7
(3) 半径25/4，EF=7/2
(2) 当⊙C经过点H时，半径CP=CH=8。AD//BC，AH⊥BC，过C作CG⊥AD于G，则CG=AH=6（平行线间距离）。⊙C中，弦EF在AD上，圆心C到EF距离d=CG=6。由垂径定理，$EF=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{28}=4\sqrt{7}$。
(3) 以B为原点，BC为x轴建系，B(0,0)，C(16,0)，H(8,0)，A(8,6)，P(16-r,0)。⊙C方程$(x-16)^2+y^2=r^2$，AD:y=6，交⊙C于E(16-√(r²-36),6)，F(16+√(r²-36),6)。AP斜率$k_{AP}=\frac{0-6}{(16-r)-8}=\frac{-6}{8-r}$，CE斜率$k_{CE}=\frac{6-0}{(16-\sqrt{r²-36})-16}=\frac{-6}{\sqrt{r²-36}}$。由AP//CE得$\frac{-6}{8-r}=\frac{-6}{\sqrt{r²-36}}$，解得r=25/4。EF=2√(r²-36)=2√((25/4)²-36)=7/2。
(1) 10
(2) 4√7
(3) 半径25/4，EF=7/2
