3. 将一张长方形纸片沿 $ EF $ 折叠,折叠后的位置如图所示,若 $ \angle EFB = 65° $, 则 $ \angle BFC' $ 的度数是()

A.$ 50° $
B.$ 65° $
C.$ 70° $
D.$ 75° $

A

因为四边形ABCD是长方形，所以AD//BC，所以∠DEF=∠EFB=65°（两直线平行，内错角相等）。由折叠性质知∠D'EF=∠DEF=65°，所以∠D'EF=65°。因为AD//BC，所以∠EFC=180°-∠DEF=180°-65°=115°（两直线平行，同旁内角互补）。折叠后∠EFC'=∠EFC=115°，所以∠BFC'=∠EFC'-∠EFB=115°-65°=50°。

4. 如图, $ \angle AOB = 120° $, $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 内部任意一条射线, $ OD $, $ OE $ 分别是 $ \angle AOC $, $ \angle BOC $ 的平分线,下列叙述正确的是()
A.$ \angle DOE $ 的度数不能确定
B.$ \angle AOD = \angle EOC $
C.$ \angle AOD + \angle BOE = 60° $
D.$ \angle BOE = 2\angle COD $

C

根据题意得$\angle DOE=\angle COD+\angle COE$
$=\frac{1}{2}\angle AOC+\frac{1}{2}\angle COB$
$=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle COB)$
$=\frac{1}{2}\angle AOB=60^{\circ}$
A.$\angle DOE$度数已确定为$60^{\circ}$，错误。
B.$\angle AOD=\angle COD,\angle EOC=\angle COE$，
但$\angle COD$与$\angle EOC$不一定相等，错误。
C.$\angle AOD+\angle BOE=\angle COD+\angle BOE=\angle DOE=60^{\circ}$，正确。
D.$\angle BOE=\frac{1}{2}\angle BOC,\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOC$，
$\angle BOE$与$2\angle COD$不一定相等，错误。

5. 如图,点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点, $ \angle BOC = 100° $, $ \angle COD = 90° $, $ OM $ 平分 $ \angle AOC $.
(1) 求 $ \angle MOD $ 的度数;
(2) 若射线 $ OP $ 在直线 $ AB $ 上方,且 $ \angle MOP = 90° $, 求证: $ OP $ 平分 $ \angle BOC $.

(1) ∵点O在直线AB上，∴∠AOB=180°．
∵∠BOC=100°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-100°=80°．
∵OM平分∠AOC，∴∠MOC=∠AOC/2=80°/2=40°．
∵∠COD=90°，∴∠MOD=∠COD-∠MOC=90°-40°=50°．
(2) 证明：∵∠MOP=90°，∠MOC=40°，
∴∠POC=∠MOP-∠MOC=90°-40°=50°．
∵∠BOC=100°，
∴∠BOP=∠BOC-∠POC=100°-50°=50°．
∴∠BOP=∠POC，即OP平分∠BOC．

6. 如图,射线 $ OC $, $ OD $ 在 $ \angle AOB $ 的内部, $ \angle AOD = \angle BOC = 90° $, $ \angle COD = 26° $.
(1) 求 $ \angle AOB $ 的度数;
(2) 若另一条射线 $ OE $ 也在 $ \angle AOB $ 的内部且满足 $ \angle DOE = \frac{1}{2}\angle COD $, 求 $ \angle BOE $ 的度数.

(1) ∵∠AOD=90°，∠COD=26°，
∴∠AOC=∠AOD - ∠COD=90° - 26°=64°.
∵∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC + ∠BOC=64° + 90°=154°.
(2) ∵∠COD=26°，∠DOE=1/2∠COD，
∴∠DOE=13°.
情况1：OE在OD与OC之间，
∵∠BOC=90°，∠COD=26°，
∴∠BOD=∠BOC - ∠COD=90° - 26°=64°.
∠BOE=∠BOD + ∠DOE=64° + 13°=77°.
情况2：OE在OD与OB之间，
∠BOE=∠BOD - ∠DOE=64° - 13°=51°.
综上，∠BOE=51°或77°.
(1) 154°
(2) 51°或77°

7. 已知下面图中的 $ \angle AOB $ 均为直角.
(1) 如图 1, $ OD $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线, $ OE $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线.
① 若 $ \angle BOC = 30° $, 求 $ \angle DOE $ 的大小;
② 若 $ \angle BOC = \alpha $, 请直接写出 $ \angle DOE $ 的度数(用含 $ \alpha $ 的代数式表示).
(2) $ OD $ 是 $ \angle AOB $ 的三等分线, $ OE $ 是 $ \angle BOC $ 的三等分线,且 $ \angle BOC = \alpha $. 请在备用图上补全图形,直接写出 $ \angle DOE $ 的度数.(用含 $ \alpha $ 的代数式表示)

(1)①
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OD$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$。
因为$\angle BOC = 30^{\circ}$，$OE$是$\angle BOC$的平分线，所以$\angle BOE=\frac{1}{2}\angle BOC = 15^{\circ}$。
所以$\angle DOE=\angle BOD+\angle BOE=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ}$。
②
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OD$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle BOD = 45^{\circ}$。
因为$\angle BOC=\alpha$，$OE$是$\angle BOC$的平分线，所以$\angle BOE=\frac{1}{2}\alpha$。
所以$\angle DOE = 45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$。
(2)
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OD$是$\angle AOB$的三等分线，所以$\angle BOD = 30^{\circ}$或$\angle BOD = 60^{\circ}$。
因为$\angle BOC=\alpha$，$OE$是$\angle BOC$的三等分线，所以$\angle BOE=\frac{1}{3}\alpha$或$\angle BOE=\frac{2}{3}\alpha$。
当$\angle BOD = 30^{\circ}$，$\angle BOE=\frac{1}{3}\alpha$时，$\angle DOE = 30^{\circ}+\frac{1}{3}\alpha$；
当$\angle BOD = 30^{\circ}$，$\angle BOE=\frac{2}{3}\alpha$时，$\angle DOE = 30^{\circ}+\frac{2}{3}\alpha$；
当$\angle BOD = 60^{\circ}$，$\angle BOE=\frac{1}{3}\alpha$时，$\angle DOE = 60^{\circ}+\frac{1}{3}\alpha$；
当$\angle BOD = 60^{\circ}$，$\angle BOE=\frac{2}{3}\alpha$时，$\angle DOE = 60^{\circ}+\frac{2}{3}\alpha$。
故答案为：(1)①$60^{\circ}$；②$45^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$；(2)$30^{\circ}+\frac{1}{3}\alpha$或$30^{\circ}+\frac{2}{3}\alpha$或$60^{\circ}+\frac{1}{3}\alpha$或$60^{\circ}+\frac{2}{3}\alpha$。