1. 解下列方程：
(1)$x^{2}-5x-6= 0$；
(2)$x^{2}+12x+27= 0$；
(3)$x(x-3)= 10$；
(4)$(2x+1)(x-3)= 4$。

(1)解：
$x^{2} - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0$
所以 $x - 6 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得 $x_{1} = 6$，$x_{2} = -1$
(2)解：
$x^{2} + 12x + 27 = (x + 3)(x + 9) = 0$
所以 $x + 3 = 0$ 或 $x + 9 = 0$
解得 $x_{1} = -3$，$x_{2} = -9$
(3)解：
$x(x - 3) = 10$
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
所以 $x - 5 = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得 $x_{1} = 5$，$x_{2} = -2$
(4)解：
$(2x + 1)(x - 3) = 4$
$2x^{2} - 6x + x - 3 = 4$
$2x^{2} - 5x - 7 = 0$
$(2x - 7)(x + 1) = 0$
所以 $2x - 7 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得 $x_{1} = \frac{7}{2}$，$x_{2} = -1$

2. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(x+3)^{2}-25= 0$；
(2)$2x^{2}+4x+1= 0$；
(3)$3(x-2)^{2}= x(x-2)$；
(4)$(x+1)(x+8)= -12$。

(1)
解：
由$(x+3)^{2}-25= 0$，
得$(x+3)^{2}= 25$，
开方得$x+3 = \pm 5$，
所以$x_{1} = 5 - 3 = 2$，$x_{2} = -5 - 3 = -8$。
(2)
解：
对于方程$2x^{2}+4x+1= 0$，
其中$a = 2$，$b = 4$，$c = 1$，
计算判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 × 2 × 1 = 8$，
所以$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$，
即$x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$，$x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}$。
(3)
解：
由$3(x-2)^{2}= x(x-2)$，
移项得$3(x-2)^{2} - x(x-2) = 0$，
提取公因式$(x-2)$得$(x-2)(3x-6-x) = 0$，
即$(x-2)(2x-6) = 0$，
所以$x-2 = 0$或$2x-6 = 0$，
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = 3$。
(4)
解：
由$(x+1)(x+8)= -12$，
展开得$x^{2} + 9x + 8 = -12$，
移项得$x^{2} + 9x + 20 = 0$，
因式分解得$(x+4)(x+5) = 0$，
所以$x+4 = 0$或$x+5 = 0$，
解得$x_{1} = -4$，$x_{2} = -5$。

3. 已知$y_{1}= x^{2}-2x+3$,$y_{2}= 3x-1$,当x为何值时,$y_{1}与y_{2}$相等？

要使$y_1$与$y_2$相等，则$x^2 - 2x + 3 = 3x - 1$
移项得：$x^2 - 2x - 3x + 3 + 1 = 0$
合并同类项得：$x^2 - 5x + 4 = 0$
因式分解得：$(x - 1)(x - 4) = 0$
则$x - 1 = 0$或$x - 4 = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$
结论：当$x = 1$或$x = 4$时，$y_1$与$y_2$相等。

4. 当k取何值时,关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+k-1= 0$有两个相等的实数根？有两个不相等的实数根？

答题卡：
解：
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于方程 $x^{2} - 2x + k - 1 = 0$，有 $a = 1, b = -2, c = k - 1$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × (k - 1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k$
当方程有两个相等的实数根时，$\Delta = 0$，即：
$8 - 4k = 0$
解得 $k = 2$。
当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta ＞ 0$，即：
$8 - 4k ＞ 0$
解得 $k ＜ 2$。