7. 如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE//AC. 若$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle ADE}= 1:2$,则$S_{\triangle DOE}:S_{\triangle AOC}$的值为()

A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$

B

∵$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle ADE}=1:2$，且$\triangle BDE$与$\triangle ADE$等高，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵$DE// AC$，
∴$\triangle BDE\sim\triangle BAC$，$\triangle DOE\sim\triangle COA$，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle AOC}}=(\frac{DE}{AC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
B

8. 如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4. 若AA'= 1,则A'D等于()

A.2
B.3
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$

A

设$A'D = x$，则$AD = AA' + A'D = 1 + x$。
因为$\triangle ABC$沿中线$AD$平移得到$\triangle A'B'C'$，所以$A'B'// AB$，$A'C'// AC$，故$\triangle A'EF \sim \triangle ABC$（$E,F$为阴影三角形顶点）。
由平移性质，阴影三角形的高与$\triangle ABC$的高之比为$\frac{A'D}{AD} = \frac{x}{x + 1}$。
因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^2 = \frac{S_{阴影}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4}{9}$。
解得$\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$（负值舍去），$3x = 2(x + 1)$，$x = 2$。
A

9. 点E,F分别在平行四边形ABCD的边BC,AD上,BE= DF,点P在边AB上,AP:PB= 1:n(n＞1),过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为$S_1$,$S_2$的两部分,将△CDF分成面积为$S_3$,$S_4$的两部分(如图),则$(S_1+S_4):(S_2+S_3)$的值为()

A.1:(n+1)
B.1:(2n+1)
C.1:n
D.n:(n+1)

C

设平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB// CD$，直线$l// AD$交$AE$于$M$，交$CF$于$N$。
设$AP = x$，则$PB = nx$，$AB = AP + PB=(n + 1)x$。
在$\triangle ABE$中，$\because PM// BE$，$\therefore \triangle APM\sim\triangle ABE$，相似比为$\frac{AP}{AB}=\frac{x}{(n + 1)x}=\frac{1}{n + 1}$。
$\therefore \frac{S_1}{S_{\triangle ABE}}=\left(\frac{1}{n + 1}\right)^2=\frac{1}{(n + 1)^2}$，则$S_1=\frac{1}{(n + 1)^2}S_{\triangle ABE}$，$S_2 = S_{\triangle ABE}-S_1=\frac{n(n + 2)}{(n + 1)^2}S_{\triangle ABE}$。
在$\triangle CDF$中，$\because PN// DF$，$PB = nx$，$CD = AB=(n + 1)x$，$\therefore \frac{CN}{CD}=\frac{PB}{AB}=\frac{nx}{(n + 1)x}=\frac{n}{n + 1}$（$\triangle CPN\sim\triangle CDF$，相似比$\frac{n}{n + 1}$）。
$\therefore \frac{S_3}{S_{\triangle CDF}}=\left(\frac{n}{n + 1}\right)^2=\frac{n^2}{(n + 1)^2}$，则$S_3=\frac{n^2}{(n + 1)^2}S_{\triangle CDF}$，$S_4 = S_{\triangle CDF}-S_3=\frac{2n + 1}{(n + 1)^2}S_{\triangle CDF}$。
$\because BE = DF$，$AD = BC$，$\triangle ABE$与$\triangle CDF$等底等高，$\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle CDF}=S$。
$\therefore S_1 + S_4=\frac{1}{(n + 1)^2}S+\frac{2n + 1}{(n + 1)^2}S=\frac{2n + 2}{(n + 1)^2}S=\frac{2(n + 1)}{(n + 1)^2}S=\frac{2}{n + 1}S$。
$S_2 + S_3=\frac{n(n + 2)}{(n + 1)^2}S+\frac{n^2}{(n + 1)^2}S=\frac{n^2 + 2n + n^2}{(n + 1)^2}S=\frac{2n^2 + 2n}{(n + 1)^2}S=\frac{2n(n + 1)}{(n + 1)^2}S=\frac{2n}{n + 1}S$。
$\therefore (S_1 + S_4):(S_2 + S_3)=\frac{2}{n + 1}S:\frac{2n}{n + 1}S=1:n$。
C

10. 如图,在△ABC中,P是BC边上任意一点(点P与点B,C不重合),平行四边形AFPE的顶点F,E分别在AB,AC上. 已知BC= 2,$S_{\triangle ABC}= 1$. 设BP= x,平行四边形AFPE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有,则当x取何值时,y有这样的值,并求出该值；若没有,请说明理由.

(1) ∵四边形AFPE是平行四边形，∴FP//AC，PE//AB。
∵FP//AC，∴△BFP∽△BAC，相似比为$\frac{BP}{BC}=\frac{x}{2}$，面积比为$(\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{4}$。
∵$S_{\triangle ABC}=1$，∴$S_{\triangle BFP}=\frac{x^2}{4}$。
同理，PE//AB，△PEC∽△BAC，相似比为$\frac{PC}{BC}=\frac{2-x}{2}$，面积比为$(\frac{2-x}{2})^2=\frac{(2-x)^2}{4}$，∴$S_{\triangle PEC}=\frac{(2-x)^2}{4}$。
∴$y=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BFP}-S_{\triangle PEC}=1-\frac{x^2}{4}-\frac{(2-x)^2}{4}$。
化简得：$y=1-\frac{x^2+(4-4x+x^2)}{4}=1-\frac{2x^2-4x+4}{4}=-\frac{1}{2}x^2+x$。
(2) 函数$y=-\frac{1}{2}x^2+x$为二次函数，$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，有最大值。
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{2})}=1$。
当$x=1$时，$y_{max}=-\frac{1}{2}×1^2+1=\frac{1}{2}$。
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+x$；(2)有最大值，当$x=1$时，$y_{max}=\frac{1}{2}$。