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9. 如图，$ \triangle OAB $ 是边长为 $ 2 $ 的等边三角形，过点 $ A $ 的直线 $ y = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + m $ 与 $ x $ 轴交于点 $ E $。
（1）求点 $ E $ 的坐标。
（2）请说明：$ OA \perp AE $。
（1）求点 $ E $ 的坐标。
（2）请说明：$ OA \perp AE $。
答案
解：
(1)过点A作AD⊥EO于点D
∵∆OAB是边长为2的等边三角形
∴OD=DB=1，AB=AO=OB=2
∴$AD=\sqrt 3，$
∴点A的坐标为(1，$\sqrt 3)$
将点A的坐标代入直线$y=-\frac {\sqrt 3}3x+m$
得$\sqrt 3=-\frac {\sqrt 3}3+m，$解得$m=\frac {4\sqrt 3}3$
∴$y=-\frac {\sqrt 3}3x+\frac {4\sqrt 3}3$
当y=0时，x=4，即点E的坐标为(4，0)
(2)
∵$AD=\sqrt 3，$DE=EO - DO=3
∴$AE=\sqrt {3^2+(\sqrt 3)^2}=2\sqrt 3$
∵$AO^2 + AE^2 = 16，$$EO^2 = 16$
∴$AO^2 + AE^2 = EO^2$
∴OA⊥AE
10. 如图，已知直线 $ y_1 = x + 3 $ 与坐标轴交于 $ A $，$ B $ 两点，直线 $ y_2 = -\dfrac{1}{2}x - 3 $ 与坐标轴交于 $ C $，$ D $ 两点，两直线的交点为 $ M $。
（1）求点 $ M $ 的坐标。
（2）若在 $ x $ 轴上存在一点 $ T $，使得 $ S_{\triangle ATM} = S_{\triangle ADM} $，求出此时点 $ T $ 的坐标。
（1）求点 $ M $ 的坐标。
（2）若在 $ x $ 轴上存在一点 $ T $，使得 $ S_{\triangle ATM} = S_{\triangle ADM} $，求出此时点 $ T $ 的坐标。
答案
解：(1)联立直线$ y_{1}=x+3 $和直线$y_{2}=-\frac 12x-3$
可得$ x+3=-\frac 12x-3$
解得 x=-4
将 x=-4 代入$ y_{1}=x+3，$得 y=-1
∴点 M 的坐标为 (-4，-1)
(2)∵$y_{1}=x+3，$$y_{2}=-\frac 12x-3$
当 x=0 时，$y_{1}=3，$$y_{2}=-3；$
当$ y_{1}=0 $时，x=-3
∴A(0，3)，B(-3，0)，D(0，-3)
∴AD=6
设点 T(m，0)，∴BT= |m+3 |
∵$S_{ △ADM}=\frac 12\ \mathrm {A}D·$|$x_{M}$|$ =\frac 12×6×4=12$
∴$S_{ △ATM}=S_{ △ATB}+S_{△ BTM}$
$=\frac 12× $|m+3| ×4=2|m +3| =12
∴|m+3| =6，∴m=-9 或 m=3
∴点 T 的坐标为 (-9，0) 或 (3，0)
可得$ x+3=-\frac 12x-3$
解得 x=-4
将 x=-4 代入$ y_{1}=x+3，$得 y=-1
∴点 M 的坐标为 (-4，-1)
(2)∵$y_{1}=x+3，$$y_{2}=-\frac 12x-3$
当 x=0 时，$y_{1}=3，$$y_{2}=-3；$
当$ y_{1}=0 $时，x=-3
∴A(0，3)，B(-3，0)，D(0，-3)
∴AD=6
设点 T(m，0)，∴BT= |m+3 |
∵$S_{ △ADM}=\frac 12\ \mathrm {A}D·$|$x_{M}$|$ =\frac 12×6×4=12$
∴$S_{ △ATM}=S_{ △ATB}+S_{△ BTM}$
$=\frac 12× $|m+3| ×4=2|m +3| =12
∴|m+3| =6，∴m=-9 或 m=3
∴点 T 的坐标为 (-9，0) 或 (3，0)
