【例题】已知反比例函数$ y= \frac{6-m}{x} $,当m为何值时,函数的图象在第二、四象限?
【思路点拨】由反比例函数的图象与性质可知,当函数的图象在第二、四象限时,$ 6-m＜0 $,解不等式即可求出m的范围.
【解答】
【学法点睛】解决本题的关键是掌握反比例函数的图象与性质.

要使反比例函数$ y = \frac{6 - m}{x} $的图象在第二、四象限，根据反比例函数的性质，需满足比例系数小于$ 0 $，即：
$ 6 - m ＜ 0 $
解此不等式：
$ -m ＜ -6 $
两边同时乘以$ -1 $（不等号方向改变）：
$ m ＞ 6 $
结论：当$ m ＞ 6 $时，函数的图象在第二、四象限。

1. 双曲线$ y= \frac{1}{3x} 经过点 (3,a) $,则a等于 ()
A.9
B.$ \frac{1}{9} $
C.3
D.$ \frac{1}{3} $

1. 双曲线方程为 $y = \frac{1}{3x}$。
2. 将点 $(3, a)$ 代入双曲线方程中，得 $a = \frac{1}{3 × 3}$。
3. 计算得 $a = \frac{1}{9}$。
所以，a 等于 $\frac{1}{9}$，选项 B 正确。

2. 如果反比例函数$ y= \frac{k}{x} $中,在每个象限内,y的值随x的增大而增大,那么双曲线分布在 ()
A.第二、四象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、三象限

A

对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$，当$k ＞ 0$时，在每个象限内，$y$的值随$x$的增大而减小；当$k ＜ 0$时，在每个象限内，$y$的值随$x$的增大而增大。
已知在每个象限内$y$的值随$x$的增大而增大，所以$k ＜ 0$。
当$k ＜ 0$时，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象分布在第二、四象限。

3. 已知点$ (-5,y_{1}),(-3,y_{2}),(2,y_{3}) $都在反比例函数 $ y= \frac{1}{x} $ 的图象上,则下面各式正确的是 ()
A.$ y_{1}＞y_{2}＞y_{3} $
B.$ y_{2}＞y_{1}＞y_{3} $
C.$ y_{3}＞y_{1}＞y_{2} $
D.$ y_{3}＞y_{2}＞y_{1} $

1. 首先，已知反比例函数$y = \frac{1}{x}$，分别将点$(-5,y_{1})$，$(-3,y_{2})$，$(2,y_{3})$代入函数：
当$x=-5$时，$y_{1}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}$；
当$x = - 3$时，$y_{2}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$；
当$x = 2$时，$y_{3}=\frac{1}{2}$。
2. 然后比较$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小：
比较$y_{1}=-\frac{1}{5}$和$y_{2}=-\frac{1}{3}$的大小，因为$\vert-\frac{1}{5}\vert=\frac{1}{5}$，$\vert-\frac{1}{3}\vert=\frac{1}{3}$，且$\frac{1}{5}＜\frac{1}{3}$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\frac{1}{5}＞-\frac{1}{3}$，即$y_{1}＞y_{2}$。
又因为$y_{3}=\frac{1}{2}＞0$，$y_{1}=-\frac{1}{5}＜0$，$y_{2}=-\frac{1}{3}＜0$，所以$y_{3}＞y_{1}$，$y_{3}＞y_{2}$。
综上可得$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$。
答案选C。

4. 反比例函数$ y= \frac{k}{x} $的图象是由组组成的,叫作.当$ k＞0 $时,图象分布在象限;当$ k＜0 $时,图象分布在象限.

反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象是由两支曲线组成的，叫作双曲线。
当$k＞0$时，图象分布在一、三象限；
当$k＜0$时，图象分布在二、四象限。

5. 反比例函数$ y= -\frac{k}{x} $的图象经过点 (1,5) ，则函数$ y= kx $的图象经过第象限.

1. 由题意，反比例函数 $y = -\frac{k}{x}$ 经过点 $(1, 5)$，代入得：
$5 = -\frac{k}{1}$
解得 $k = -5$。
2. 将 $k = -5$ 代入 $y = kx$，得到：
$y = -5x$
3. 函数 $y = -5x$ 为一次函数，其斜率为 $-5$，小于 0，表示函数是递减的。
4. 由于斜率为负，且函数过原点，因此函数 $y = -5x$ 的图象会经过第二、四象限。
故答案为：二、四。

6. 已知点$ (m^{2}+1,1) 在双曲线 y= \frac{k}{x} $上,则此双曲线在象限.

双曲线在第一、三象限。由于需要填ABCD而本题无选项，故此处留空。

由于点$(m^{2}+1, 1)$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，可以将这一点代入双曲线方程中求解k：
$1 = \frac{k}{m^{2} + 1}$，
解得：
$k = m^{2} + 1$，
由于$m^{2} \geq 0$，所以$m^{2} + 1 ＞ 0$，即$k ＞ 0$。
根据反比例函数$y = \frac{k}{x}$的性质，当$k ＞ 0$时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。

7. 反比例函数$ y= -\frac{2m+3}{x} $,当m时,在每个象限内,y随x的增大而减小.

对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$），当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
在函数$y= -\frac{2m + 3}{x}$中，$k=-(2m + 3)$。
要使函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，则$k＞0$，即：
$-(2m + 3)＞0$
解这个不等式：
$2m + 3＜0$
$2m＜-3$
$m＜-\frac{3}{2}$
故答案为$＜-\frac{3}{2}$。

8. 已知某三角形面积为3.
(1)求底边上的高y与底边长x之间的函数关系式;
(2)作出这个函数的图象.

(1) $y = \frac{6}{x}$
(2) 图像为第一象限的双曲线的一部分，具体图像略。

(1) 设三角形的底边长为 $x$，高为 $y$，面积为 $S$。
根据三角形面积公式 $S = \frac{1}{2} × x × y$，
已知 $S = 3$，代入公式得：
$3 = \frac{1}{2} × x × y$
$y = \frac{6}{x}$
所以，底边上的高 $y$ 与底边长 $x$ 之间的函数关系式为 $y = \frac{6}{x}$。
(2) 要作出函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象，
由于 $x ＞ 0$，函数图像只在第一象限，
可以取几个 $x$ 的值，计算对应的 $y$ 值，然后在坐标系上描点，并用平滑的曲线连接这些点。
例如，当 $x = 1$ 时，$y = 6$；
当 $x = 2$ 时，$y = 3$；
当 $x = 3$ 时，$y = 2$；
当 $x = 6$ 时，$y = 1$。
在坐标系上描出这些点 $(1,6), (2,3), (3,2), (6,1)$，并用平滑的曲线连接它们，即可得到函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象。