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1. 下列方程:①$3x^2 +7=0$;②$x^3 +2x=1 -x^2 +x^3$;③$2x^2 -3y +1=0$;④$3x^2 - \frac{4}{x} +6=0$,其中是一元二次方程的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】要判断给出的方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：1. 属于整式方程；2. 只含有1个未知数；3. 化简后未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们对照条件逐个分析4个方程，即可统计出符合要求的方程个数。
【解析】我们逐个分析每个方程：
1. 方程①$3x^2 +7=0$：是整式方程，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$3≠0$，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
2. 方程②$x^3 +2x=1 -x^2 +x^3$：先化简，左右两边同时消去$x^3$，可得$2x=1-x^2$，移项整理为$x^2+2x-1=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
3. 方程③$2x^2 -3y +1=0$：含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，不属于一元二次方程。
4. 方程④$3x^2 - \frac{4}{x} +6=0$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不属于一元二次方程。
综上，一元二次方程共有2个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义;整式方程的识别
【点评】本题考查一元二次方程的基础判定，解题时要注意先对复杂方程化简后再判断，同时牢记一元二次方程必须是整式方程，避免被表面的高次项、多未知数、分母含未知数的形式误导。
【难度系数】0.7
【解析】我们逐个分析每个方程：
1. 方程①$3x^2 +7=0$：是整式方程，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$3≠0$，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
2. 方程②$x^3 +2x=1 -x^2 +x^3$：先化简，左右两边同时消去$x^3$，可得$2x=1-x^2$，移项整理为$x^2+2x-1=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合一元二次方程定义，属于一元二次方程。
3. 方程③$2x^2 -3y +1=0$：含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，不属于一元二次方程。
4. 方程④$3x^2 - \frac{4}{x} +6=0$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不属于一元二次方程。
综上，一元二次方程共有2个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义;整式方程的识别
【点评】本题考查一元二次方程的基础判定，解题时要注意先对复杂方程化简后再判断，同时牢记一元二次方程必须是整式方程，避免被表面的高次项、多未知数、分母含未知数的形式误导。
【难度系数】0.7
2. 解下列方程：
(1)$3x^2 -15=0$；
(2)$x^2 +x -\frac{3}{4}=0$；
(3)$x^2 -2x +3=0$；
(4)$16(x-3)^2 -25(x-2)^2=0$。
(1)$3x^2 -15=0$；
(2)$x^2 +x -\frac{3}{4}=0$；
(3)$x^2 -2x +3=0$；
(4)$16(x-3)^2 -25(x-2)^2=0$。
答案
(1)移项,得$3x^2 = 15$.
二次项系数化为1,得$x^2 =5$.
开平方,得$x = \pm \sqrt{5}$,即$x_1 =\sqrt{5},x_2 = -\sqrt{5}$.
(2)移项,得$x^2 + x = \frac{3}{4}$.
配方,得$x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2})^2$,即$(x + \frac{1}{2})^2 = 1$.
$\therefore x + \frac{1}{2} = \pm 1,\therefore x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{3}{2}$.
(3)这里$a = 1,b = -2,c = 3,\because b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × 3 = -8 ＜ 0$,故方程无实数根.
(4)整理方程,得$[4(x - 3)]^2 - [5(x - 2)]^2 = 0$.
因式分解,得$[4(x - 3) + 5(x - 2)][4(x - 3) - 5(x - 2)] = 0$,即$(9x - 22)(x + 2) = 0$,所以$9x - 22 = 0$或$x + 2 = 0$,所以$x_1 = \frac{22}{9},x_2 = -2$.
二次项系数化为1,得$x^2 =5$.
开平方,得$x = \pm \sqrt{5}$,即$x_1 =\sqrt{5},x_2 = -\sqrt{5}$.
(2)移项,得$x^2 + x = \frac{3}{4}$.
配方,得$x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2})^2$,即$(x + \frac{1}{2})^2 = 1$.
$\therefore x + \frac{1}{2} = \pm 1,\therefore x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{3}{2}$.
(3)这里$a = 1,b = -2,c = 3,\because b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × 3 = -8 ＜ 0$,故方程无实数根.
(4)整理方程,得$[4(x - 3)]^2 - [5(x - 2)]^2 = 0$.
因式分解,得$[4(x - 3) + 5(x - 2)][4(x - 3) - 5(x - 2)] = 0$,即$(9x - 22)(x + 2) = 0$,所以$9x - 22 = 0$或$x + 2 = 0$,所以$x_1 = \frac{22}{9},x_2 = -2$.
解析
【分析】
解一元二次方程时，需先观察方程的结构特征选择最优解法：
(1)该方程不含一次项，优先选用直接开平方法，先移项、将二次项系数化为1，再开平方即可得到解；
(2)该方程二次项系数为1，一次项系数为整数，适合用配方法求解，先将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方完成配方，再开平方求解；
(3)该方程为一元二次方程的一般形式，先计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，再进一步求解；
(4)该方程可整理为两个平方项的差等于0的形式，符合平方差公式的特征，选用因式分解法，将方程转化为两个一次方程求解更简便。
【解析】
(1)移项,得$3x^2 = 15$.
二次项系数化为1,得$x^2 =5$.
开平方,得$x = \pm \sqrt{5}$,即$x_1 =\sqrt{5},x_2 = -\sqrt{5}$.
(2)移项,得$x^2 + x = \frac{3}{4}$.
配方,得$x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2})^2$,即$(x + \frac{1}{2})^2 = 1$.
$\therefore x + \frac{1}{2} = \pm 1,\therefore x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{3}{2}$.
(3)这里$a = 1,b = -2,c = 3,\because b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × 3 = -8 ＜ 0$,故方程无实数根.
(4)整理方程,得$[4(x - 3)]^2 - [5(x - 2)]^2 = 0$.
因式分解,得$[4(x - 3) + 5(x - 2)][4(x - 3) - 5(x - 2)] = 0$,即$(9x - 22)(x + 2) = 0$,所以$9x - 22 = 0$或$x + 2 = 0$,所以$x_1 = \frac{22}{9},x_2 = -2$.
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$；(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；(3)无实数根；(4)$x_1=\frac{22}{9},x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，因式分解的应用
【点评】
本题考查一元二次方程的不同求解方法，解题时根据方程的结构特征选择合适的解法，能有效简化计算过程，提升解题效率，同时要注意先通过判别式判断方程是否有实数根，避免做无用计算。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时，需先观察方程的结构特征选择最优解法：
(1)该方程不含一次项，优先选用直接开平方法，先移项、将二次项系数化为1，再开平方即可得到解；
(2)该方程二次项系数为1，一次项系数为整数，适合用配方法求解，先将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方完成配方，再开平方求解；
(3)该方程为一元二次方程的一般形式，先计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，再进一步求解；
(4)该方程可整理为两个平方项的差等于0的形式，符合平方差公式的特征，选用因式分解法，将方程转化为两个一次方程求解更简便。
【解析】
(1)移项,得$3x^2 = 15$.
二次项系数化为1,得$x^2 =5$.
开平方,得$x = \pm \sqrt{5}$,即$x_1 =\sqrt{5},x_2 = -\sqrt{5}$.
(2)移项,得$x^2 + x = \frac{3}{4}$.
配方,得$x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2})^2$,即$(x + \frac{1}{2})^2 = 1$.
$\therefore x + \frac{1}{2} = \pm 1,\therefore x_1 = \frac{1}{2},x_2 = -\frac{3}{2}$.
(3)这里$a = 1,b = -2,c = 3,\because b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × 3 = -8 ＜ 0$,故方程无实数根.
(4)整理方程,得$[4(x - 3)]^2 - [5(x - 2)]^2 = 0$.
因式分解,得$[4(x - 3) + 5(x - 2)][4(x - 3) - 5(x - 2)] = 0$,即$(9x - 22)(x + 2) = 0$,所以$9x - 22 = 0$或$x + 2 = 0$,所以$x_1 = \frac{22}{9},x_2 = -2$.
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$；(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；(3)无实数根；(4)$x_1=\frac{22}{9},x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，因式分解的应用
【点评】
本题考查一元二次方程的不同求解方法，解题时根据方程的结构特征选择合适的解法，能有效简化计算过程，提升解题效率，同时要注意先通过判别式判断方程是否有实数根，避免做无用计算。
【难度系数】
0.7
3. 已知关于$x$的一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$.
(1) 试证明:无论$p$取何值,此方程总有实数根;
(2) 若原方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3p^2 +1$,求$p$的值.
(1) 试证明:无论$p$取何值,此方程总有实数根;
(2) 若原方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3p^2 +1$,求$p$的值.
答案
(1)证明:原方程可变形为$x^2 -5x +6 -p^2 -p = 0$.
这里$a = 1,b = -5,c = 6 - p^2 - p$.
$\because b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(6 - p^2 - p) = 25 - 24 + 4p^2 + 4p = 4p^2 + 4p + 1 = (2p + 1)^2 \ge 0$,
$\therefore$ 无论$p$取何值此方程总有实数根.
(2)解:$\because$ 原方程的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 + x_2 = 5,x_1x_2 = 6 - p^2 - p$.
又$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3p^2 + 1$,
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 3p^2 + 1$,
$\therefore 5^2 - 3(6 - p^2 - p) = 3p^2 + 1$,
$\therefore 25 - 18 + 3p^2 + 3p = 3p^2 + 1$,
$\therefore 3p = -6,\therefore p = -2$.
这里$a = 1,b = -5,c = 6 - p^2 - p$.
$\because b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(6 - p^2 - p) = 25 - 24 + 4p^2 + 4p = 4p^2 + 4p + 1 = (2p + 1)^2 \ge 0$,
$\therefore$ 无论$p$取何值此方程总有实数根.
(2)解:$\because$ 原方程的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 + x_2 = 5,x_1x_2 = 6 - p^2 - p$.
又$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3p^2 + 1$,
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 3p^2 + 1$,
$\therefore 5^2 - 3(6 - p^2 - p) = 3p^2 + 1$,
$\therefore 25 - 18 + 3p^2 + 3p = 3p^2 + 1$,
$\therefore 3p = -6,\therefore p = -2$.
解析
【分析】
(1) 要证明无论p取何值一元二次方程总有实数根，首先需要将原方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，再计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，只要证明$\Delta$恒大于等于0，即可得出结论。
(2) 已知方程两根的关系式，首先根据根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再利用完全平方公式将等式左边的$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，代入对应数值后解方程即可求出p的值。
【解析】
(1) 证明：将原方程展开整理，得
$x^2 -5x +6 -p^2 -p = 0$
其中$a = 1,b = -5,c = 6 - p^2 - p$
计算根的判别式：
$\because b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6 - p^2 - p) = 25 - 24 + 4p^2 + 4p = 4p^2 + 4p + 1 = (2p + 1)^2 \ge 0$
$\therefore$ 无论p取何值，此方程总有实数根。
(2) 解：$\because$ 原方程的两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得
$x_1 + x_2 = 5,x_1x_2 = 6 - p^2 - p$
又$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3p^2 +1$，利用完全平方公式变形得
$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 3p^2 + 1$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入上式：
$5^2 - 3(6 - p^2 - p) = 3p^2 + 1$
化简计算：
$25 - 18 + 3p^2 + 3p = 3p^2 + 1$
$3p = -6$
解得$p = -2$
【答案】
(1) 无论p取何值，此方程总有实数根，证明成立；
(2) $p=-2$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的典型常考题，核心考查根的判别式的应用和根与系数关系的变形使用，解题关键是熟练掌握相关性质，能将所求代数式合理转化为两根和、两根积的形式，计算难度较低，属于基础掌握类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明无论p取何值一元二次方程总有实数根，首先需要将原方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，再计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，只要证明$\Delta$恒大于等于0，即可得出结论。
(2) 已知方程两根的关系式，首先根据根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再利用完全平方公式将等式左边的$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，代入对应数值后解方程即可求出p的值。
【解析】
(1) 证明：将原方程展开整理，得
$x^2 -5x +6 -p^2 -p = 0$
其中$a = 1,b = -5,c = 6 - p^2 - p$
计算根的判别式：
$\because b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6 - p^2 - p) = 25 - 24 + 4p^2 + 4p = 4p^2 + 4p + 1 = (2p + 1)^2 \ge 0$
$\therefore$ 无论p取何值，此方程总有实数根。
(2) 解：$\because$ 原方程的两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得
$x_1 + x_2 = 5,x_1x_2 = 6 - p^2 - p$
又$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3p^2 +1$，利用完全平方公式变形得
$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 3p^2 + 1$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入上式：
$5^2 - 3(6 - p^2 - p) = 3p^2 + 1$
化简计算：
$25 - 18 + 3p^2 + 3p = 3p^2 + 1$
$3p = -6$
解得$p = -2$
【答案】
(1) 无论p取何值，此方程总有实数根，证明成立；
(2) $p=-2$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的典型常考题，核心考查根的判别式的应用和根与系数关系的变形使用，解题关键是熟练掌握相关性质，能将所求代数式合理转化为两根和、两根积的形式，计算难度较低，属于基础掌握类题型。
【难度系数】
0.7
4.如图,在长为50 m,宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m²,设道路的宽为x m,则可列方程为
(50 - 2x)(38 - 2x) = 1 260
.答案
4.$(50 - 2x)(38 - 2x) = 1 260$
解析
【分析】
解题时首先确定等量关系为“草坪的面积=1260 m²”，接下来需要用含x的式子表示草坪的长和宽：由于道路在矩形四周且宽度均为x，左右两条道路各占宽度x，因此草坪的长为原矩形长减去2x，即(50-2x)m；上下两条道路各占宽度x，因此草坪的宽为原矩形宽减去2x，即(38-2x)m。最后结合矩形面积公式代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设道路的宽为x m。
因为道路沿矩形四周修筑，所以余下的草坪为矩形：
草坪的长为$(50-2x)\mathrm{m}$，
草坪的宽为$(38-2x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积公式“$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$”，结合草坪面积为$1260\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(50-2x)(38-2x)=1260$
【答案】
$(50 - 2x)(38 - 2x) = 1260$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，解题关键是准确表示出内部草坪的长和宽，需要注意道路分布在矩形四周时，长和宽都要减去2倍的道路宽度，避免出现仅减去1倍宽度的常见错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定等量关系为“草坪的面积=1260 m²”，接下来需要用含x的式子表示草坪的长和宽：由于道路在矩形四周且宽度均为x，左右两条道路各占宽度x，因此草坪的长为原矩形长减去2x，即(50-2x)m；上下两条道路各占宽度x，因此草坪的宽为原矩形宽减去2x，即(38-2x)m。最后结合矩形面积公式代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设道路的宽为x m。
因为道路沿矩形四周修筑，所以余下的草坪为矩形：
草坪的长为$(50-2x)\mathrm{m}$，
草坪的宽为$(38-2x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积公式“$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$”，结合草坪面积为$1260\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(50-2x)(38-2x)=1260$
【答案】
$(50 - 2x)(38 - 2x) = 1260$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，解题关键是准确表示出内部草坪的长和宽，需要注意道路分布在矩形四周时，长和宽都要减去2倍的道路宽度，避免出现仅减去1倍宽度的常见错误。
【难度系数】
0.7
