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9 如图，在$△ ABC$中，$l_1$是$AB$的垂直平分线，$l_2$是$AC$的垂直平分线，$l_1$与$l_2$交于点$O$，则点$O$在（
A.$∠ A$的平分线上
B.$BC$的垂直平分线上
C.边$BC$的中线上
D.边$BC$的高上
B
）A.$∠ A$的平分线上
B.$BC$的垂直平分线上
C.边$BC$的中线上
D.边$BC$的高上
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质与判定定理。第一步，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，结合点O在AB、AC的垂直平分线上，可得OA=OB、OA=OC；第二步，通过等量代换得到OB=OC；第三步，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可判断点O的位置。
【解析】
解：
∵$l_1$是AB的垂直平分线，点O在$l_1$上，
∴ $OA=OB$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，点O在$l_2$上，
∴ $OA=OC$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ $OB=OC$（等量代换），
∴ 点O在BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础常考题，考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，解题的关键是利用OA作为中间量推导出OB=OC，熟练掌握相关定理就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆线段垂直平分线的性质与判定定理。第一步，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，结合点O在AB、AC的垂直平分线上，可得OA=OB、OA=OC；第二步，通过等量代换得到OB=OC；第三步，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可判断点O的位置。
【解析】
解：
∵$l_1$是AB的垂直平分线，点O在$l_1$上，
∴ $OA=OB$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，点O在$l_2$上，
∴ $OA=OC$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ $OB=OC$（等量代换），
∴ 点O在BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础常考题，考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，解题的关键是利用OA作为中间量推导出OB=OC，熟练掌握相关定理就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
10 如图，依据尺规作图的痕迹，可得∠α的大小为
60°
。答案
10. $60°$
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，利用直角三角形内角和求出∠DBC的度数，再结合平行线的内错角相等得到∠ADB的度数；接下来识别尺规作图的痕迹：一条是BD的垂直平分线（与BD夹角为90°），另一条是∠ABD的角平分线，最后结合三角形内角和与对顶角相等的性质，就能求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△BCD中，∠BDC=60°，∠C=90°，
∴∠DBC=180°-90°-60°=30°，
∴∠ABD=90°-∠DBC=60°。
由尺规作图痕迹可知：一条直线是BD的垂直平分线，因此该直线与BD的夹角为90°；另一条射线是∠ABD的角平分线，平分后∠ABD被分成两个30°的角。
在∠α所在的对顶角对应的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得该锐角为180°-90°-30°=60°，由对顶角相等得∠α=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
矩形的性质，尺规作图，角度计算
【点评】
本题结合尺规作图与矩形的性质考查角度计算，解题的关键是准确识别作图痕迹对应的几何操作，再结合基础几何性质推导角度，注重对基础知识和识图能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时先从矩形的性质入手，利用直角三角形内角和求出∠DBC的度数，再结合平行线的内错角相等得到∠ADB的度数；接下来识别尺规作图的痕迹：一条是BD的垂直平分线（与BD夹角为90°），另一条是∠ABD的角平分线，最后结合三角形内角和与对顶角相等的性质，就能求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△BCD中，∠BDC=60°，∠C=90°，
∴∠DBC=180°-90°-60°=30°，
∴∠ABD=90°-∠DBC=60°。
由尺规作图痕迹可知：一条直线是BD的垂直平分线，因此该直线与BD的夹角为90°；另一条射线是∠ABD的角平分线，平分后∠ABD被分成两个30°的角。
在∠α所在的对顶角对应的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得该锐角为180°-90°-30°=60°，由对顶角相等得∠α=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
矩形的性质，尺规作图，角度计算
【点评】
本题结合尺规作图与矩形的性质考查角度计算，解题的关键是准确识别作图痕迹对应的几何操作，再结合基础几何性质推导角度，注重对基础知识和识图能力的考查。
【难度系数】
0.6
11 如图，$∠ AOE=15°$，$OE$ 平分 $∠ AOB$，$DE// OB$，交 $OA$ 于点 $D$，$EC⊥ OB$，垂足为 $C$。若 $EC=2$，则 $OD$ 的长为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
答案
11. 4
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件梳理相关性质：①已知OE是角平分线，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过E作OA的垂线，得到该垂线段长度等于EC=2；②由OE平分∠AOB可先求出∠AOB的度数，再结合DE//OB，利用平行线的性质可得∠EDF=∠AOB，同时可推出∠DOE=∠DEO，得到OD=DE，实现线段转化；③最后在含30°角的直角三角形中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出DE的长度，即可得到OD的长。
【解析】
解：过点E作EF⊥OA，垂足为F。
1. 由角平分线的性质推导：
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥OA，
∴ EF = EC = 2，且∠AOB = 2∠AOE = 2×15°=30°。
2. 结合平行线性质推导等腰三角形：
∵ DE//OB，
∴ ∠EDF = ∠AOB = 30°，∠DEO = ∠EOB。
又
∵ ∠EOB = ∠AOE，
∴ ∠DEO = ∠AOE，
∴ OD = DE。
3. 利用含30°角的直角三角形性质计算：
在Rt△DEF中，∠EDF=30°，EF=2，
∴ DE = 2EF = 4，
∴ OD = DE = 4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将角平分线、平行线、特殊直角三角形的性质结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，同时利用等角对等边实现待求线段和已知线段的转化，有助于提升几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件梳理相关性质：①已知OE是角平分线，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过E作OA的垂线，得到该垂线段长度等于EC=2；②由OE平分∠AOB可先求出∠AOB的度数，再结合DE//OB，利用平行线的性质可得∠EDF=∠AOB，同时可推出∠DOE=∠DEO，得到OD=DE，实现线段转化；③最后在含30°角的直角三角形中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出DE的长度，即可得到OD的长。
【解析】
解：过点E作EF⊥OA，垂足为F。
1. 由角平分线的性质推导：
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥OA，
∴ EF = EC = 2，且∠AOB = 2∠AOE = 2×15°=30°。
2. 结合平行线性质推导等腰三角形：
∵ DE//OB，
∴ ∠EDF = ∠AOB = 30°，∠DEO = ∠EOB。
又
∵ ∠EOB = ∠AOE，
∴ ∠DEO = ∠AOE，
∴ OD = DE。
3. 利用含30°角的直角三角形性质计算：
在Rt△DEF中，∠EDF=30°，EF=2，
∴ DE = 2EF = 4，
∴ OD = DE = 4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将角平分线、平行线、特殊直角三角形的性质结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，同时利用等角对等边实现待求线段和已知线段的转化，有助于提升几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12 如图，在$△ ABC$中，$AF$平分$∠ BAC$，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$E$，交$AC$于点$D$，$∠ B=70°$，$∠ FAE=19°$，则$∠ C$的大小为________。
答案
12. $24°$
解析
【分析】
解题时首先观察到DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，进而推出∠EAC=∠C；再结合AF是∠BAC的角平分线，可将∠BAC用含∠C的式子表示；最后利用三角形内角和为180°列方程，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠CAF=∠EAC + ∠FAE = ∠C + 19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAF=2(∠C + 19°)，
在△ABC中，∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，已知∠B=70°，
代入得：70° + 2(∠C + 19°) + ∠C = 180°，
展开计算：70° + 2∠C + 38° + ∠C = 180°，
整理得：3∠C = 72°，
解得：∠C=24°。
【答案】
24°
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，核心是通过线段的性质完成角度的等量转化，将未知角统一用同一个未知数表示后结合内角和定理求解，能较好地考查学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，进而推出∠EAC=∠C；再结合AF是∠BAC的角平分线，可将∠BAC用含∠C的式子表示；最后利用三角形内角和为180°列方程，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠CAF=∠EAC + ∠FAE = ∠C + 19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAF=2(∠C + 19°)，
在△ABC中，∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，已知∠B=70°，
代入得：70° + 2(∠C + 19°) + ∠C = 180°，
展开计算：70° + 2∠C + 38° + ∠C = 180°，
整理得：3∠C = 72°，
解得：∠C=24°。
【答案】
24°
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，核心是通过线段的性质完成角度的等量转化，将未知角统一用同一个未知数表示后结合内角和定理求解，能较好地考查学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
13 如图，$∠ ACB=∠ ADB=90°$，$E$为$AB$的中点，连接$CD$，$CE$，$DE$.若$∠ CDE=56°$，则$∠ DCE$的大小是（
A.$56°$
B.$62°$
C.$63°$
D.$72°$
（第13题）（第14题）（第15题）
A
）A.$56°$
B.$62°$
C.$63°$
D.$72°$
（第13题）（第14题）（第15题）
答案
13. A
解析
【分析】
解题时首先观察到图中有两个共斜边的直角三角形，且E是斜边AB的中点，优先想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，据此可推出CE=DE，得到△CDE为等腰三角形，再结合等腰三角形等边对等角的性质即可求出∠DCE的度数。
【解析】
已知∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点：
1. 在Rt△ACB中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}AB$；
2. 在Rt△ADB中，同理可得$DE=\frac{1}{2}AB$；
3. 因此$CE=DE$，即△CDE是等腰三角形；
4. 根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ DCE=∠ CDE=56°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的突破口是利用共斜边直角三角形的斜边中线相等得到等腰三角形，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到图中有两个共斜边的直角三角形，且E是斜边AB的中点，优先想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，据此可推出CE=DE，得到△CDE为等腰三角形，再结合等腰三角形等边对等角的性质即可求出∠DCE的度数。
【解析】
已知∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点：
1. 在Rt△ACB中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}AB$；
2. 在Rt△ADB中，同理可得$DE=\frac{1}{2}AB$；
3. 因此$CE=DE$，即△CDE是等腰三角形；
4. 根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ DCE=∠ CDE=56°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的突破口是利用共斜边直角三角形的斜边中线相等得到等腰三角形，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14 [2025 沭阳段考]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=30°$，作$AB$的垂直平分线，交$AB$于点$D$，交$BC$于点$E$。若$DE=2$，则$BC$的长是________。
答案
14. 12
解析
【分析】解题时先利用等腰三角形的性质得到底角和顶角的度数，再通过作辅助线连接AE，结合线段垂直平分线的性质得到相等的线段和相等的角，最后两次利用含30°角的直角三角形边的关系分别求出BE、EC的长度，相加即可得到BC的长。
【解析】解：连接AE。
∵ AB=AC，∠C=30°，
∴ ∠B=∠C=30°，∠BAC=180°-2×30°=120°。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA=EB，∠EDB=90°。
在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=2，
∴ BE=2DE=4，
∴ AE=BE=4，∠EAB=∠B=30°，
∴ ∠EAC=∠BAC - ∠EAB=120°-30°=90°。
在Rt△EAC中，∠C=30°，
∴ EC=2AE=2×4=8，
∴ BC=BE+EC=4+8=12。
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题是几何基础综合题，解题的关键是正确构造辅助线，灵活运用特殊三角形的性质推导边与角的关系，是几何考点的常规综合考查题型。
【难度系数】0.65
【解析】解：连接AE。
∵ AB=AC，∠C=30°，
∴ ∠B=∠C=30°，∠BAC=180°-2×30°=120°。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA=EB，∠EDB=90°。
在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=2，
∴ BE=2DE=4，
∴ AE=BE=4，∠EAB=∠B=30°，
∴ ∠EAC=∠BAC - ∠EAB=120°-30°=90°。
在Rt△EAC中，∠C=30°，
∴ EC=2AE=2×4=8，
∴ BC=BE+EC=4+8=12。
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题是几何基础综合题，解题的关键是正确构造辅助线，灵活运用特殊三角形的性质推导边与角的关系，是几何考点的常规综合考查题型。
【难度系数】0.65
15 [2024新疆]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$。若点$D$在直线$AB$上（不与点$A$，$B$重合），且$∠ BCD=30°$，则$AD$的长为________。
答案
15. 6或12
解析
【分析】
首先利用含30°角的直角三角形的性质，先求出Rt△ABC中BC的长度和∠B的度数；由于点D在直线AB上（不与A、B重合），因此需分两种情况讨论：①点D在线段AB上，②点D在AB的延长线上，分别结合∠BCD=30°的条件求出对应BD的长度，再计算AD即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=4$，$∠ B=90°-∠ A=60°$，分两种情况讨论：
1. 当点$D$在线段$AB$上时：
$\because ∠ BCD=30°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=180°-60°-30°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ BCD=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$，
$\therefore AD=AB-BD=8-2=6$；
2. 当点$D$在$AB$的延长线上（点$B$外侧）时：
$∠ CBD=180°-∠ ABC=180°-60°=120°$，
在$△BCD$中，$∠ D=180°-∠ CBD-∠ BCD=180°-120°-30°=30°$，
$\therefore ∠ D=∠ BCD$，
$\therefore BD=BC=4$，
$\therefore AD=AB+BD=8+4=12$。
综上，$AD$的长为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意审题，结合图形的多种位置情况分类讨论，利用特殊三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.6
首先利用含30°角的直角三角形的性质，先求出Rt△ABC中BC的长度和∠B的度数；由于点D在直线AB上（不与A、B重合），因此需分两种情况讨论：①点D在线段AB上，②点D在AB的延长线上，分别结合∠BCD=30°的条件求出对应BD的长度，再计算AD即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=4$，$∠ B=90°-∠ A=60°$，分两种情况讨论：
1. 当点$D$在线段$AB$上时：
$\because ∠ BCD=30°$，
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=180°-60°-30°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ BCD=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$，
$\therefore AD=AB-BD=8-2=6$；
2. 当点$D$在$AB$的延长线上（点$B$外侧）时：
$∠ CBD=180°-∠ ABC=180°-60°=120°$，
在$△BCD$中，$∠ D=180°-∠ CBD-∠ BCD=180°-120°-30°=30°$，
$\therefore ∠ D=∠ BCD$，
$\therefore BD=BC=4$，
$\therefore AD=AB+BD=8+4=12$。
综上，$AD$的长为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意审题，结合图形的多种位置情况分类讨论，利用特殊三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.6
16 [2025 泗阳段考]如图，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，$E,F$分别是$AC,BD$的中点.
（1）求证：$EF⊥ BD$；
（2）若$∠ BAD=30°$，$AC=8$，求$BD$的长.
（1）求证：$EF⊥ BD$；
（2）若$∠ BAD=30°$，$AC=8$，求$BD$的长.
答案
16. (1) 如图,连接$BE,DE$.$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$,$E$ 是$AC$ 的中点,$\therefore BE=DE=\frac{1}{2}AC$.$\because F$ 是$BD$ 的中点,$\therefore EF⊥ BD$
(2) 由(1)可知,$BE=AE=DE=\frac{1}{2}AC=4$,$\therefore ∠ EAB=∠ EBA$,$∠ EAD=∠ EDA$,$\therefore ∠ CEB=∠ EAB+∠ EBA=2∠ EAB$,$∠ CED=∠ EAD+∠ EDA=2∠ EAD$.$\because ∠ BAD=30°$,$\therefore ∠ BED=∠ CEB+∠ CED=2∠ EAB+2∠ EAD=2(∠ EAB+∠ EAD)=2∠ BAD=60°$.$\because BE=DE$,$\therefore △ BED$ 是等边三角形,$\therefore BD=BE=4$
解析
【分析】
（1）要证明$EF⊥BD$，结合F是BD中点的条件，可想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明$△ BED$是等腰三角形即可。已知$∠ ABC$和$∠ ADC$都是直角，E是公共斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出$BE=DE$，即可得到等腰$△ BED$，结合F是BD中点即可证得垂直结论。
（2）要求BD的长，已知$AC=8$，先由直角三角形斜边中线性质可得$BE=DE=4$，再结合$∠ BAD=30°$，利用三角形外角的性质，可推导出$∠ BED=2∠ BAD=60°$，此时有一个角为$60°$的等腰$△ BED$是等边三角形，即可得到BD的长度。
【解析】
（1）证明：如图，连接$BE$、$DE$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$，E是AC的中点，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BE=\frac{1}{2}AC$；在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore BE=DE$，即$△ BED$是等腰三角形。
又$\because F$是$BD$的中点，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$EF⊥ BD$。
（2）解：由（1）可知$BE=AE=DE=\frac{1}{2}AC$，
$\because AC=8$，$\therefore BE=DE=4$。
$\because BE=AE$，$\therefore ∠ EAB=∠ EBA$，同理$∠ EAD=∠ EDA$，
根据三角形外角的性质，$∠ CEB=∠ EAB+∠ EBA=2∠ EAB$，$∠ CED=∠ EAD+∠ EDA=2∠ EAD$，
$\therefore ∠ BED=∠ CEB+∠ CED=2∠ EAB+2∠ EAD=2(∠ EAB+∠ EAD)=2∠ BAD$，
$\because ∠ BAD=30°$，$\therefore ∠ BED=2×30°=60°$，
又$\because BE=DE$，$\therefore △ BED$是等边三角形，
$\therefore BD=BE=4$。
【答案】
(1) 如图,连接$BE,DE$.$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$,$E$ 是$AC$ 的中点,$\therefore BE=DE=\frac{1}{2}AC$.$\because F$ 是$BD$ 的中点,$\therefore EF⊥ BD$
(2) 由(1)可知,$BE=AE=DE=\frac{1}{2}AC=4$,$\therefore ∠ EAB=∠ EBA$,$∠ EAD=∠ EDA$,$\therefore ∠ CEB=∠ EAB+∠ EBA=2∠ EAB$,$∠ CED=∠ EAD+∠ EDA=2∠ EAD$.$\because ∠ BAD=30°$,$\therefore ∠ BED=∠ CEB+∠ CED=2∠ EAB+2∠ EAD=2(∠ EAB+∠ EAD)=2∠ BAD=60°$.$\because BE=DE$,$\therefore △ BED$ 是等边三角形,$\therefore BD=BE=4$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，等边三角形判定
【点评】
本题是三角形性质应用的典型综合题，解题核心是通过添加辅助线构造等腰三角形，结合直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质逐步推导，需要熟练掌握这类辅助线的添加思路，以及各特殊三角形性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$EF⊥BD$，结合F是BD中点的条件，可想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明$△ BED$是等腰三角形即可。已知$∠ ABC$和$∠ ADC$都是直角，E是公共斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出$BE=DE$，即可得到等腰$△ BED$，结合F是BD中点即可证得垂直结论。
（2）要求BD的长，已知$AC=8$，先由直角三角形斜边中线性质可得$BE=DE=4$，再结合$∠ BAD=30°$，利用三角形外角的性质，可推导出$∠ BED=2∠ BAD=60°$，此时有一个角为$60°$的等腰$△ BED$是等边三角形，即可得到BD的长度。
【解析】
（1）证明：如图，连接$BE$、$DE$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$，E是AC的中点，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BE=\frac{1}{2}AC$；在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore BE=DE$，即$△ BED$是等腰三角形。
又$\because F$是$BD$的中点，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$EF⊥ BD$。
（2）解：由（1）可知$BE=AE=DE=\frac{1}{2}AC$，
$\because AC=8$，$\therefore BE=DE=4$。
$\because BE=AE$，$\therefore ∠ EAB=∠ EBA$，同理$∠ EAD=∠ EDA$，
根据三角形外角的性质，$∠ CEB=∠ EAB+∠ EBA=2∠ EAB$，$∠ CED=∠ EAD+∠ EDA=2∠ EAD$，
$\therefore ∠ BED=∠ CEB+∠ CED=2∠ EAB+2∠ EAD=2(∠ EAB+∠ EAD)=2∠ BAD$，
$\because ∠ BAD=30°$，$\therefore ∠ BED=2×30°=60°$，
又$\because BE=DE$，$\therefore △ BED$是等边三角形，
$\therefore BD=BE=4$。
【答案】
(1) 如图,连接$BE,DE$.$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$,$E$ 是$AC$ 的中点,$\therefore BE=DE=\frac{1}{2}AC$.$\because F$ 是$BD$ 的中点,$\therefore EF⊥ BD$
(2) 由(1)可知,$BE=AE=DE=\frac{1}{2}AC=4$,$\therefore ∠ EAB=∠ EBA$,$∠ EAD=∠ EDA$,$\therefore ∠ CEB=∠ EAB+∠ EBA=2∠ EAB$,$∠ CED=∠ EAD+∠ EDA=2∠ EAD$.$\because ∠ BAD=30°$,$\therefore ∠ BED=∠ CEB+∠ CED=2∠ EAB+2∠ EAD=2(∠ EAB+∠ EAD)=2∠ BAD=60°$.$\because BE=DE$,$\therefore △ BED$ 是等边三角形,$\therefore BD=BE=4$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，等边三角形判定
【点评】
本题是三角形性质应用的典型综合题，解题核心是通过添加辅助线构造等腰三角形，结合直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质逐步推导，需要熟练掌握这类辅助线的添加思路，以及各特殊三角形性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
