19.在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$的坐标为$(ay+x,ax+y)$,其中$a$为常数,则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”.例如:点$P(1,4)$的“2级关联点”为$Q(2×4+1,2×1+4)$,即$Q(9,6)$.
(1)已知点$A(2,-1)$的“3级关联点”为点$B$,求点$B$的坐标.
(2)已知点$P(x,y)$的“2级关联点”的坐标为$(0,3)$,求点$P$的坐标.

19.解:(1)$\because$点$A(2,-1)$的“3级关联点”为点$B$,$\therefore$点$B$的坐标为$(3×(-1)+2,3×2-1))$,$\therefore$点$B$的坐标为$(-1,5)$.
(2)点$P(x,y)$的“2级关联点”的坐标为$(0,3)$,
$\therefore \begin{cases}2y + x = 0,\\2x + y = 3.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = -1.\end{cases}$$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-1)$.

20.某学校准备举办“我和我的祖国”主题演讲比赛.学校计划为比赛购买A,B两种奖品.已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元,购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元.
(1)求A,B两种奖品的单价.
(2)学校准备购买A,B两种奖品共60个,且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的$\frac{1}{3}$,购买预算不超过1285元,学校有哪几种购买方案?

20.解:(1)设A种奖品的单价为x元,B种奖品的单价为y元.
由题意,得$\begin{cases}x + 4y = 120,\\5x + 6y = 250.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 20,\\y = 25.\end{cases}$
答:A种奖品的单价为20元,B种奖品的单价为25元.
(2)设购买A种奖品m个,则购买B种奖品$(60-m)$个.
由题意,得$\begin{cases}60 - m ≥ \frac{1}{3}m,\\20m + 25(60 - m)≤1\ 285.\end{cases}$
解得$43≤x≤45$.$\because m$为整数,$\therefore m$可取43或44或45,$\therefore 60-m$的值为17或16或15,
$\therefore$学校有三种购买方案:
方案一,购买A种奖品43个,购买B种奖品17个;
方案二,购买A种奖品44个,购买B种奖品16个;
方案三,购买A种奖品45个,购买B种奖品15个.