12. 在图2-8-2中作出$y=2x-6$的图象并回答下列问题.
(1) 当$x=2$时，$y=$；当$y=-4$时，$x=$.
(2) 图象与坐标轴的两个交点的坐标分别是.
(3) 图象与坐标轴围成的三角形的面积是.
(4) 当$y＜0$时，$x$的取值范围是.
(5) 若$-4 ≤ y ≤ 2$，则$x$的取值范围是.
(6) 若$-1 ≤ x ≤ 2$，则$y$的取值范围是.

12.图象略
(1)-2；1
(2)(3,0),(0,-6)
(3)9
(4)$x＜3$
(5)$1≤x≤4$
(6)$-8≤y≤-2$

【分析】
要解决这道题，首先利用两点法画出一次函数$y=2x-6$的图象：一次函数图象是直线，通常选取与x轴、y轴的两个交点作图，分别令$x=0$求y值，令$y=0$求x值，即可得到两个交点坐标，描点连线得到图象。
各小问思考方法：
(1) 求对应x、y的值，直接代入解析式计算即可；
(2) 求图象与坐标轴交点，和x轴交点令$y=0$解x，和y轴交点令$x=0$求y；
(3) 图象与坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离，用三角形面积公式计算即可；
(4) 求$y＜0$时x的范围，可直接解不等式$2x-6＜0$，也可结合图象找x轴下方部分对应的x取值；
(5) 已知y的范围求x范围，把y替换为$2x-6$解不等式组即可；
(6) 已知x的范围求y范围，因为该一次函数k=2＞0，y随x的增大而增大，所以代入x的两个端点值即可得到y的最大最小值，得到取值范围。
【解析】
首先作$y=2x-6$的图象：
①令$x=0$，得$y=-6$，得到点$(0,-6)$；②令$y=0$，得$2x-6=0$，解得$x=3$，得到点$(3,0)$；在坐标系中描出这两个点，过两点作直线，即为$y=2x-6$的图象。
接下来解答各小问：
(1) 将$x=2$代入$y=2x-6$，得$y=2×2-6=-2$；将$y=-4$代入$y=2x-6$，得$-4=2x-6$，移项得$2x=2$，解得$x=1$。
(2) 与x轴交点：令$y=0$，解得$x=3$，交点为$(3,0)$；与y轴交点：令$x=0$，解得$y=-6$，交点为$(0,-6)$，因此两个交点坐标为$(3,0)$、$(0,-6)$。
(3) 图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长度分别为交点到原点的距离：$|3|=3$，$|-6|=6$，则面积$S=\frac{1}{2}×3×6=9$。
(4) 当$y＜0$时，即$2x-6＜0$，移项得$2x＜6$，解得$x＜3$。
(5) 由$-4 ≤ y ≤ 2$，代入解析式得$\begin{cases}2x-6≥-4 \\ 2x-6≤2 \end{cases}$，分别解不等式：第一个不等式移项得$2x≥2$，即$x≥1$；第二个不等式移项得$2x≤8$，即$x≤4$，因此x的取值范围是$1≤x≤4$。
(6) 一次函数$y=2x-6$中$k=2＞0$，因此y随x的增大而增大。当$x=-1$时，$y=2×(-1)-6=-8$；当$x=2$时，$y=2×2-6=-2$，因此y的取值范围是$-8≤y≤-2$。
【答案】
图象略
(1)-2；1
(2)(3,0),(0,-6)
(3)9
(4)$x＜3$
(5)$1≤x≤4$
(6)$-8≤y≤-2$
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数与不等式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，涵盖了一次函数作图、代入求值、交点计算、面积求解、取值范围推导等核心考点，掌握一次函数的基本性质和不等式的解法即可顺利解题，是一次函数模块的常考题型。
【难度系数】
0.7

13. 如图 2-8-3，在平面直角坐标系中，点 $A_1$，$A_2$，$A_3$，…在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B_1$，$B_2$，$B_3$，…在直线 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ 的第一象限部分上.已知点 $A_1(1, 0)$，且 $△ A_1B_1A_2$，$△ A_2B_2A_3$，$△ A_3B_3A_4$，…均为等边三角形.

图 2-8-3
(1)线段 $B_1B_2$ 的长度为 ；
(2)点 $A_{2024}$ 的坐标为 ；
(3)线段 $B_{2023}B_{2024}$ 的长度为 .

13.(1)$\sqrt{3}$
(2)$(2^{2023}, 0)$
(3)$2^{2022}\sqrt{3}$

【分析】
首先由直线解析式$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$可得直线与x轴正方向夹角为$30°$，结合等边三角形内角为$60°$，可推出$△ OA_nB_n$为等腰三角形，得到等边三角形边长的变化规律：第n个等边三角形$△ A_nB_nA_{n+1}$的边长为$2^{n-1}$；再结合坐标计算、规律推导依次求解三个问题：
1. 求$B_1$、$B_2$坐标，用两点间距离公式计算$B_1B_2$长度；
2. 找$A_n$横坐标的规律：$OA_n=2^{n-1}$，直接代入$n=2024$得结果；
3. 找$B_nB_{n+1}$的长度规律，代入$n=2023$得结果。
【解析】
首先，直线$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$的倾斜角为$30°$，即$∠ B_nOA_n=30°$。
已知$△ A_nB_nA_{n+1}$是等边三角形，故$∠ B_nA_nA_{n+1}=60°$，因此$∠ OB_nA_n=∠ B_nA_nA_{n+1} - ∠ B_nOA_n=30°$，可得$△ OB_nA_n$为等腰三角形，即$OA_n=A_nB_n$，也就是第n个等边三角形的边长等于$OA_n$的长度。
(1) 已知$A_1(1,0)$，即$OA_1=1$，故第一个等边三角形$△ A_1B_1A_2$的边长$A_1B_1=A_1A_2=OA_1=1$，$OA_2=OA_1+A_1A_2=2$。
$B_1$的横坐标为$1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$，纵坐标为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}×1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，即$B_1(\dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2})$；
第二个等边三角形边长$A_2B_2=OA_2=2$，$B_2$的横坐标为$2 + \dfrac{2}{2}=3$，纵坐标为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，即$B_2(3, \sqrt{3})$。
由两点间距离公式：$B_1B_2=\sqrt{(3 - \dfrac{3}{2})^2 + (\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(\dfrac{3}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$。
(2) 推导$OA_n$的规律：$OA_1=1=2^0$，$OA_2=2=2^1$，$OA_3=OA_2 + A_2A_3=2 + 2=4=2^2$，$OA_4=4+4=8=2^3$，故可得规律$OA_n=2^{n-1}$。
当$n=2024$时，$OA_{2024}=2^{2023}$，故$A_{2024}$坐标为$(2^{2023}, 0)$。
(3) 推导$B_nB_{n+1}$的长度规律：$B_1B_2=\sqrt{3}=2^0×\sqrt{3}$，同理可算得$B_2B_3=2\sqrt{3}=2^1×\sqrt{3}$，故规律为$B_nB_{n+1}=2^{n-1}×\sqrt{3}$。
当$n=2023$时，$B_{2023}B_{2024}=2^{2023-1}×\sqrt{3}=2^{2022}\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$(2^{2023}, 0)$；(3)$2^{2022}\sqrt{3}$
【知识点】
一次函数的性质，等边三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题结合一次函数和等边三角形的性质考查图形规律探究，解题关键是通过前几个图形的边长、坐标特征归纳出通用的变化规律，对归纳推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

14. 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为$(x_1, y_1)$，点 Q 的坐标为$(x_2, y_2)$，且$x_1≠x_2$，$y_1≠y_2$。若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，图 2-8-4 为点 P，Q 的“相关矩形”示意图。已知点 A 的坐标为(1, 0)。
(1)若点 B 的坐标为(3, 1)，则点 A，B 的“相关矩形”的面积为；
(2)点 C 在直线$x=3$上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 对应的函数解析式。

14.(1)2
(2)$y=x-1$或$y=-x+1$

【分析】
首先明确“相关矩形”的定义：边与坐标轴垂直，因此矩形的两条邻边长度分别为两点横坐标差的绝对值、纵坐标差的绝对值。
(1) 求A、B的相关矩形面积，只需先计算两点横、纵坐标的差，再将两个差值相乘即可。
(2) 相关矩形为正方形，说明横、纵坐标的差相等（正方形邻边相等）。已知点C在x=3上，先确定C的横坐标，根据横坐标差求出纵坐标差，进而得到C的两个可能坐标，再用待定系数法分别求直线AC的解析式即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知点A(1,0)，点B(3,1)，根据“相关矩形”的性质：
矩形的长为$|3-1|=2$，宽为$|1-0|=1$，
因此面积为$2×1=2$。
(2) 解：
∵点C在直线$x=3$上，
∴点C的横坐标为3，
点A横坐标为1，两点横坐标的差为$3-1=2$。
∵点A、C的“相关矩形”为正方形，
∴正方形的边长相等，即两点纵坐标的差也为2，
∵点A的纵坐标为0，
∴点C的纵坐标为$0+2=2$或$0-2=-2$，即点C的坐标为$(3,2)$或$(3,-2)$。
① 当C点坐标为$(3,2)$时，设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将A(1,0)、C(3,2)代入得：
$\begin{cases}k+b=0\\3k+b=2\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得$2k=2$，解得$k=1$，代入$k+b=0$得$b=-1$，
∴此时解析式为$y=x-1$。
② 当C点坐标为$(3,-2)$时，设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将A(1,0)、C(3,-2)代入得：
$\begin{cases}k+b=0\\3k+b=-2\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得$2k=-2$，解得$k=-1$，代入$k+b=0$得$b=1$，
∴此时解析式为$y=-x+1$。
综上，直线AC的解析式为$y=x-1$或$y=-x+1$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{y=x-1}$或$\boxed{y=-x+1}$
【知识点】
1. 平面直角坐标系坐标运算
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 正方形的性质
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“相关矩形”的定义，将其转化为坐标的差的关系来计算，第二问要注意点C的纵坐标有两种可能，避免漏解，整体考察对新定义的理解和基础几何、函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7