登录
1. 下列不等式组是一元一次不等式组的是（
A.$\begin{cases} x + 2 ＜ 3, \\ x - 3 ＞ -8 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x^2 + x ＞ 3, \\ x - 2 ＞ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x + x ＜ x - 1, \\ x - y ＞ 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y ＜ 1, \\ x - y ＞ 1 \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} x + 2 ＜ 3, \\ x - 3 ＞ -8 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x^2 + x ＞ 3, \\ x - 2 ＞ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x + x ＜ x - 1, \\ x - y ＞ 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y ＜ 1, \\ x - y ＞ 1 \end{cases}$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次不等式组的判定标准，核心有两点：①组成不等式组的每一个不等式都必须是一元一次不等式，也就是要同时满足只含1个未知数、未知数的次数为1、是整式不等式这三个要求；②整个不等式组中只含有同一个未知数。接下来用这两个标准逐一排查四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的组合，叫做一元一次不等式组。
我们逐个分析选项：
选项A：两个不等式都只含有未知数x，x的次数都是1，且都是整式不等式，满足一元一次不等式组的定义，符合要求；
选项B：第一个不等式中x的次数是2，不属于一元一次不等式，因此该不等式组不是一元一次不等式组，排除；
选项C：第二个不等式含有x、y两个未知数，不属于一元一次不等式，因此该不等式组不是一元一次不等式组，排除；
选项D：两个不等式都含有x、y两个未知数，属于二元一次不等式组，不符合一元一次不等式组的要求，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式组的判定
2. 一元一次不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元一次不等式组相关定义的掌握程度，解题的关键是牢记判定的核心条件，不要忽略“只含同一个未知数”“未知数次数为1”这两个关键要点，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确一元一次不等式组的判定标准，核心有两点：①组成不等式组的每一个不等式都必须是一元一次不等式，也就是要同时满足只含1个未知数、未知数的次数为1、是整式不等式这三个要求；②整个不等式组中只含有同一个未知数。接下来用这两个标准逐一排查四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的组合，叫做一元一次不等式组。
我们逐个分析选项：
选项A：两个不等式都只含有未知数x，x的次数都是1，且都是整式不等式，满足一元一次不等式组的定义，符合要求；
选项B：第一个不等式中x的次数是2，不属于一元一次不等式，因此该不等式组不是一元一次不等式组，排除；
选项C：第二个不等式含有x、y两个未知数，不属于一元一次不等式，因此该不等式组不是一元一次不等式组，排除；
选项D：两个不等式都含有x、y两个未知数，属于二元一次不等式组，不符合一元一次不等式组的要求，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次不等式组的判定
2. 一元一次不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元一次不等式组相关定义的掌握程度，解题的关键是牢记判定的核心条件，不要忽略“只含同一个未知数”“未知数次数为1”这两个关键要点，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
2. 若一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式组是（
A.$\begin{cases} x ≥ 3, \\ 2 - x ＞ 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x ＞ 3, \\ x ≤ 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x ≤ 3, \\ 2 - x ≥ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x ＜ 3, \\ x - 2 ≥ 0 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x ≥ 3, \\ 2 - x ＞ 0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x ＞ 3, \\ x ≤ 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x ≤ 3, \\ 2 - x ≥ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x ＜ 3, \\ x - 2 ≥ 0 \end{cases}$
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先根据数轴表示确定目标不等式组的解集，要牢记数轴表示不等式解集的规则：实心圆点表示包含对应点，对应≥或≤，空心圆圈表示不包含对应点，对应＞或＜，折线向右代表大于、向左代表小于，由此可得目标解集是2≤x＜3。第二步逐一求解每个选项中的不等式组，将得到的解集和目标解集对比，一致的即为正确答案。
【解析】
1. 确定数轴表示的解集：
数轴上2处为实心圆点，折线向右，对应$x≥2$；3处为空心圆圈，折线向左，对应$x＜3$，因此该不等式组的解集为$2≤x＜3$。
2. 逐一分析选项：
选项A：解$2-x＞0$得$x＜2$，与$x≥3$无公共解集，不等式组无解，不符合要求。
选项B：$x＞3$和$x≤2$无公共解集，不等式组无解，不符合要求。
选项C：解$2-x≥0$得$x≤2$，与$x≤3$的公共解集为$x≤2$，不符合要求。
选项D：解$x-2≥0$得$x≥2$，与$x＜3$的公共解集为$2≤x＜3$，和数轴表示的解集一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
不等式组解集的数轴表示、解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查对不等式组数轴表示的识别能力和一元一次不等式组的求解能力，解题时要注意区分实心点和空心点的含义，准确求解每个不等式后再找公共解集即可。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先根据数轴表示确定目标不等式组的解集，要牢记数轴表示不等式解集的规则：实心圆点表示包含对应点，对应≥或≤，空心圆圈表示不包含对应点，对应＞或＜，折线向右代表大于、向左代表小于，由此可得目标解集是2≤x＜3。第二步逐一求解每个选项中的不等式组，将得到的解集和目标解集对比，一致的即为正确答案。
【解析】
1. 确定数轴表示的解集：
数轴上2处为实心圆点，折线向右，对应$x≥2$；3处为空心圆圈，折线向左，对应$x＜3$，因此该不等式组的解集为$2≤x＜3$。
2. 逐一分析选项：
选项A：解$2-x＞0$得$x＜2$，与$x≥3$无公共解集，不等式组无解，不符合要求。
选项B：$x＞3$和$x≤2$无公共解集，不等式组无解，不符合要求。
选项C：解$2-x≥0$得$x≤2$，与$x≤3$的公共解集为$x≤2$，不符合要求。
选项D：解$x-2≥0$得$x≥2$，与$x＜3$的公共解集为$2≤x＜3$，和数轴表示的解集一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
不等式组解集的数轴表示、解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查对不等式组数轴表示的识别能力和一元一次不等式组的求解能力，解题时要注意区分实心点和空心点的含义，准确求解每个不等式后再找公共解集即可。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中，若点$P(1-2x, x-1)$在第四象限，则$x$的取值范围在数轴上表示正确的是（
A
）答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先回忆第四象限内点的坐标符号规律：横坐标为正，纵坐标为负。根据该规律列出关于x的一元一次不等式组，分别求解两个不等式后取解集的公共部分，再结合数轴表示解集的规则（小于向左画，空心圆圈表示不包含该点），即可匹配到正确选项。
【解析】
∵点$P(1-2x, x-1)$在第四象限，
∴可得不等式组：
$\begin{cases}1-2x ＞ 0 \quad ① \\x-1 ＜ 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$-2x ＞ -1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$x ＜ 0.5$；
解不等式②：移项得$x ＜ 1$；
两个解集的公共部分为$x ＜ 0.5$，对应数轴表示为：在$0.5$处画空心圆圈，向左画直线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 解一元一次不等式组
3. 解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查点是象限坐标性质和解不等式组的结合，易错点为解带负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及数轴表示解集时混淆空心/实心点、画线方向。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆第四象限内点的坐标符号规律：横坐标为正，纵坐标为负。根据该规律列出关于x的一元一次不等式组，分别求解两个不等式后取解集的公共部分，再结合数轴表示解集的规则（小于向左画，空心圆圈表示不包含该点），即可匹配到正确选项。
【解析】
∵点$P(1-2x, x-1)$在第四象限，
∴可得不等式组：
$\begin{cases}1-2x ＞ 0 \quad ① \\x-1 ＜ 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$-2x ＞ -1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$x ＜ 0.5$；
解不等式②：移项得$x ＜ 1$；
两个解集的公共部分为$x ＜ 0.5$，对应数轴表示为：在$0.5$处画空心圆圈，向左画直线，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 解一元一次不等式组
3. 解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查点是象限坐标性质和解不等式组的结合，易错点为解带负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及数轴表示解集时混淆空心/实心点、画线方向。
【难度系数】
0.7
4.（生活应用）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元. 求共有几种购买方案. 设购买篮球x个，可列不等式组为 （
A.$\begin{cases}2x≥50 - x, \\80x + 50(50 - x) ＜ 3200\end{cases}$
B.$\begin{cases}x ＞ \frac{1}{2}(50 - x), \\80x + 50(50 - x) ＜ 3200\end{cases}$
C.$\begin{cases}x ≥ \frac{1}{2}(50 - x), \\80x + 50(50 - x) ≤ 3200\end{cases}$
D.$\begin{cases}x ≥ \frac{1}{2}(50 - x), \\50x + 80(50 - x) ≤ 3200\end{cases}$
C
）A.$\begin{cases}2x≥50 - x, \\80x + 50(50 - x) ＜ 3200\end{cases}$
B.$\begin{cases}x ＞ \frac{1}{2}(50 - x), \\80x + 50(50 - x) ＜ 3200\end{cases}$
C.$\begin{cases}x ≥ \frac{1}{2}(50 - x), \\80x + 50(50 - x) ≤ 3200\end{cases}$
D.$\begin{cases}x ≥ \frac{1}{2}(50 - x), \\50x + 80(50 - x) ≤ 3200\end{cases}$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先明确已知量和未知量的关系：设购买篮球x个，则足球数量为总数量50减去篮球数量，即$(50-x)$个。接下来从题中提取两个关键不等关系：①“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”，“不少于”对应数学符号“≥”，因此篮球数量≥足球数量的$\frac{1}{2}$；②“购买资金不超过3200元”，“不超过”对应数学符号“≤”，总资金=篮球总花费+足球总花费，注意不要混淆篮球和足球的单价。最后将两个不等关系转化为不等式，联立后对比选项即可得到答案。
【解析】
设购买篮球x个，则购买足球的数量为$(50-x)$个。
1. 根据“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”，“不少于”即大于等于，可得不等式：
$x≥ \frac{1}{2}(50-x)$
2. 根据“购买资金不超过3200元”，“不超过”即小于等于，总花费=篮球单价×篮球数量+足球单价×足球数量，可得不等式：
$80x + 50(50-x)≤ 3200$
将两个不等式联立得到不等式组，与选项对比可知C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的应用；根据实际意义列不等式
【点评】
本题结合体育采购的生活场景考察不等式组的列写，解题的核心是准确抓住“不少于”“不超过”这类关键词对应的不等符号，同时要理清不同物品的数量、单价、总花费的对应关系，避免出现张冠李戴的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知量和未知量的关系：设购买篮球x个，则足球数量为总数量50减去篮球数量，即$(50-x)$个。接下来从题中提取两个关键不等关系：①“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”，“不少于”对应数学符号“≥”，因此篮球数量≥足球数量的$\frac{1}{2}$；②“购买资金不超过3200元”，“不超过”对应数学符号“≤”，总资金=篮球总花费+足球总花费，注意不要混淆篮球和足球的单价。最后将两个不等关系转化为不等式，联立后对比选项即可得到答案。
【解析】
设购买篮球x个，则购买足球的数量为$(50-x)$个。
1. 根据“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”，“不少于”即大于等于，可得不等式：
$x≥ \frac{1}{2}(50-x)$
2. 根据“购买资金不超过3200元”，“不超过”即小于等于，总花费=篮球单价×篮球数量+足球单价×足球数量，可得不等式：
$80x + 50(50-x)≤ 3200$
将两个不等式联立得到不等式组，与选项对比可知C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的应用；根据实际意义列不等式
【点评】
本题结合体育采购的生活场景考察不等式组的列写，解题的核心是准确抓住“不少于”“不超过”这类关键词对应的不等符号，同时要理清不同物品的数量、单价、总花费的对应关系，避免出现张冠李戴的错误。
【难度系数】
0.8
