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1. 下列式子:①$\sqrt{\frac{1}{5}}$；②$\sqrt{-5}$；③$-\sqrt{x^2+2}$；④$\sqrt{4}$；⑤$\sqrt{(-\frac{1}{3})^2}$；⑥$\sqrt{1-a}$；⑦$\sqrt{a^2-2a+1}$。二次根式有()
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
C
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子为二次根式，逐一判断：
1. $\sqrt{\frac{1}{5}}$：被开方数$\frac{1}{5}＞0$，是二次根式；
2. $\sqrt{-5}$：被开方数$-5＜0$，不是二次根式；
3. $-\sqrt{x^2+2}$：$x^2≥0$，故$x^2+2≥2＞0$，是二次根式；
4. $\sqrt{4}$：被开方数$4＞0$，是二次根式；
5. $\sqrt{(-\frac{1}{3})^2}$：被开方数为$\frac{1}{9}＞0$，是二次根式；
6. $\sqrt{1-a}$：$1-a$的符号无法确定，不能保证非负，不是二次根式；
7. $\sqrt{a^2-2a+1}=\sqrt{(a-1)^2}$：$(a-1)^2≥0$，是二次根式。
符合要求的二次根式共5个。
1. $\sqrt{\frac{1}{5}}$：被开方数$\frac{1}{5}＞0$，是二次根式；
2. $\sqrt{-5}$：被开方数$-5＜0$，不是二次根式；
3. $-\sqrt{x^2+2}$：$x^2≥0$，故$x^2+2≥2＞0$，是二次根式；
4. $\sqrt{4}$：被开方数$4＞0$，是二次根式；
5. $\sqrt{(-\frac{1}{3})^2}$：被开方数为$\frac{1}{9}＞0$，是二次根式；
6. $\sqrt{1-a}$：$1-a$的符号无法确定，不能保证非负，不是二次根式；
7. $\sqrt{a^2-2a+1}=\sqrt{(a-1)^2}$：$(a-1)^2≥0$，是二次根式。
符合要求的二次根式共5个。
2. 若式子$\frac{\sqrt{m+1}}{m-1}$在实数范围内有意义，则$m$的取值范围是()
A.$m＞-1$，且$m≠1$
B.$m≠0$
C.$m≥-1$，且$m≠1$
D.$m≠1$
A.$m＞-1$，且$m≠1$
B.$m≠0$
C.$m≥-1$，且$m≠1$
D.$m≠1$
答案
C
解析
要使式子$\frac{\sqrt{m+1}}{m-1}$在实数范围内有意义，需同时满足两个条件：1. 二次根式的被开方数非负，即$m+1≥0$，解得$m≥-1$；2. 分式的分母不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。综合可得$m$的取值范围是$m≥-1$且$m≠1$。
3. 实数$a,b$在数轴上的位置如图所示，化简$|b|+\sqrt{(b-a)^2}-\sqrt{a^2}$的结果为()
A.$-2b$
B.$2a$
C.$2(a-b)$
D.$2(a+b)$
A.$-2b$
B.$2a$
C.$2(a-b)$
D.$2(a+b)$
答案
A
解析
由数轴可得：$b＜0＜a$，$b-a＜0$。根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对各项化简：$|b|=-b$，$\sqrt{(b-a)^2}=|b-a|=a-b$，$\sqrt{a^2}=|a|=a$。代入原式计算：
$|b|+\sqrt{(b-a)^2}-\sqrt{a^2}=-b+(a-b)-a=-2b$
$|b|+\sqrt{(b-a)^2}-\sqrt{a^2}=-b+(a-b)-a=-2b$
4. 下列二次根式：$\sqrt{5}$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，$\sqrt{0.5a}$，$-2\sqrt{a^2b}$，$\sqrt{x^2+y^2}$。是最简二次根式的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断：
1. $\sqrt{5}$：符合最简二次根式要求，是最简二次根式；
2. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$：被开方数含分母，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{0.5a}$：$0.5=\dfrac{1}{2}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
4. $-2\sqrt{a^2b}$：被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{x^2+y^2}$：符合最简二次根式要求，是最简二次根式。
综上，最简二次根式共2个。
1. $\sqrt{5}$：符合最简二次根式要求，是最简二次根式；
2. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$：被开方数含分母，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{0.5a}$：$0.5=\dfrac{1}{2}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
4. $-2\sqrt{a^2b}$：被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{x^2+y^2}$：符合最简二次根式要求，是最简二次根式。
综上，最简二次根式共2个。
5. 下列各式中,与化简$\sqrt{-mn^3}(m＞0)$所得结果相同的是()
A.$n\sqrt{-mn}$
B.$n\sqrt{mn}$
C.$-n\sqrt{mn}$
D.$-m\sqrt{-mn}$
A.$n\sqrt{-mn}$
B.$n\sqrt{mn}$
C.$-n\sqrt{mn}$
D.$-m\sqrt{-mn}$
答案
D
解析
由二次根式有意义的条件可知，被开方数$-mn^3≥0$，已知$m＞0$，因此可得$n^3≤0$，即$n≤0$。
对原式化简：
$\sqrt{-mn^3}=\sqrt{n^2·(-mn)}=|n|·\sqrt{-mn}$，
因为$n≤0$，所以$|n|=-n$，代入得化简结果为$-n\sqrt{-mn}$。
对原式化简：
$\sqrt{-mn^3}=\sqrt{n^2·(-mn)}=|n|·\sqrt{-mn}$，
因为$n≤0$，所以$|n|=-n$，代入得化简结果为$-n\sqrt{-mn}$。
6. 已知$x,y$满足等式$\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1}=0$，$m$是$\sqrt{5}$的小数部分，则$y^x + (\sqrt{5}+2)m$的值为()
A.0
B.1
C.2
D.4
A.0
B.1
C.2
D.4
答案
C
解析
根据二次根式的非负性，$\sqrt{x-2}≥0$，$\sqrt{y+1}≥0$，二者和为0，因此$x-2=0$，$y+1=0$，解得$x=2$，$y=-1$。
由$2＜\sqrt{5}＜3$，可知$\sqrt{5}$的整数部分为2，因此它的小数部分$m=\sqrt{5}-2$。
将$x,y,m$代入式子计算：
$y^x + (\sqrt{5}+2)m = (-1)^2 + (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = 1 + 5 - 4 = 2$
由$2＜\sqrt{5}＜3$，可知$\sqrt{5}$的整数部分为2，因此它的小数部分$m=\sqrt{5}-2$。
将$x,y,m$代入式子计算：
$y^x + (\sqrt{5}+2)m = (-1)^2 + (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = 1 + 5 - 4 = 2$
二、填空题
1. 若代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x-2026)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是。
1. 若代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x-2026)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{x＞3且x≠2026}$
解析
解：
要使代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x-2026)^0$有意义，需同时满足：
$\begin{cases}x-3＞0 \\x-2026≠0\end{cases}$
解得$x＞3$且$x≠2026$。
要使代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x-2026)^0$有意义，需同时满足：
$\begin{cases}x-3＞0 \\x-2026≠0\end{cases}$
解得$x＞3$且$x≠2026$。
2. 化简：$(\sqrt{2026 - x})^2 - \sqrt{(x - 2027)^2} =$ .
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
解：
由二次根式有意义的条件得：$2026 - x ≥ 0$，
解得 $x ≤ 2026$，
因此 $x - 2027 ＜ 0$，
原式 $= 2026 - x - |x - 2027|$
$= 2026 - x - (2027 - x)$
$= 2026 - x - 2027 + x$
$= -1$
最终
由二次根式有意义的条件得：$2026 - x ≥ 0$，
解得 $x ≤ 2026$，
因此 $x - 2027 ＜ 0$，
原式 $= 2026 - x - |x - 2027|$
$= 2026 - x - (2027 - x)$
$= 2026 - x - 2027 + x$
$= -1$
最终
3. 已知$a^2 + 2a - \sqrt{2} = 0$，则代数式$( \dfrac{a-2}{a} - \dfrac{a-1}{a+2} ) ÷ (a - 4)$的值为。
答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
解：
先化简代数式：
$\begin{aligned}&( \frac{a-2}{a} - \frac{a-1}{a+2} ) ÷ (a-4)\\=&\frac{(a-2)(a+2) - a(a-1)}{a(a+2)} · \frac{1}{a-4}\\=&\frac{a^2 -4 -a^2 +a}{a(a+2)(a-4)}\\=&\frac{a-4}{a(a+2)(a-4)}\\=&\frac{1}{a^2 + 2a}\end{aligned}$
由 $a^2 + 2a - \sqrt{2}=0$，移项得 $a^2 + 2a = \sqrt{2}$，
将其代入化简后的式子，得：原式$=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
最终
先化简代数式：
$\begin{aligned}&( \frac{a-2}{a} - \frac{a-1}{a+2} ) ÷ (a-4)\\=&\frac{(a-2)(a+2) - a(a-1)}{a(a+2)} · \frac{1}{a-4}\\=&\frac{a^2 -4 -a^2 +a}{a(a+2)(a-4)}\\=&\frac{a-4}{a(a+2)(a-4)}\\=&\frac{1}{a^2 + 2a}\end{aligned}$
由 $a^2 + 2a - \sqrt{2}=0$，移项得 $a^2 + 2a = \sqrt{2}$，
将其代入化简后的式子，得：原式$=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
最终
4. 我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”. 在如图所示的“九宫格”中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则M代表的实数为.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
解析
解：首先计算第一行三个数的乘积，得到所有横、竖、斜对角的3个实数相乘的共同结果：
$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$
根据第一列三个数的乘积等于$6\sqrt{6}$，列等式：
$3\sqrt{2} × 1 × M = 6\sqrt{6}$
解得：
$M = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$
$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$
根据第一列三个数的乘积等于$6\sqrt{6}$，列等式：
$3\sqrt{2} × 1 × M = 6\sqrt{6}$
解得：
$M = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$
5. 已知二次根式$\sqrt{25 - a}$与$\sqrt{8}$化成最简二次根式后，被开方数相同，若$a$是正整数，则$a$的最小值为________。
答案
解：
先化简$\sqrt{8}$，得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
由题意可知$\sqrt{25-a}$化为最简二次根式后被开方数为2，因此$25-a$可表示为2乘以正整数的平方，即：
$25 - a = 2k^2$（$k$为正整数）
变形得$a = 25 - 2k^2$，
因为$a$是正整数，所以$a＞0$，即$25 - 2k^2 ＞ 0$，
解得$k^2 ＜ 12.5$，
满足条件的正整数$k$的取值为1、2、3，
要使$a$取最小值，则$2k^2$取最大值，当$k=3$时：
$a=25 - 2×3^2=25-18=7$
所以$a$的最小值为$\boldsymbol{7}$。
先化简$\sqrt{8}$，得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
由题意可知$\sqrt{25-a}$化为最简二次根式后被开方数为2，因此$25-a$可表示为2乘以正整数的平方，即：
$25 - a = 2k^2$（$k$为正整数）
变形得$a = 25 - 2k^2$，
因为$a$是正整数，所以$a＞0$，即$25 - 2k^2 ＞ 0$，
解得$k^2 ＜ 12.5$，
满足条件的正整数$k$的取值为1、2、3，
要使$a$取最小值，则$2k^2$取最大值，当$k=3$时：
$a=25 - 2×3^2=25-18=7$
所以$a$的最小值为$\boldsymbol{7}$。
