1.$\cos 15° =$（）

A.$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

1.C 由题意，得 $\cos 15°=\cos(60°-45°)=\cos 60°\cos 45°+\sin 60°\sin 45°=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.$

2.要得到函数$y=3\cos2x$的图象，只需将函数$y=3\cos(2x+\dfrac{π}{4})$的图象 （）

A.向左平移$\dfrac{π}{4}$个单位长度
B.向右平移$\dfrac{π}{4}$个单位长度
C.向左平移$\dfrac{π}{8}$个单位长度
D.向右平移$\dfrac{π}{8}$个单位长度

2.D 由 $y=3\cos(2x+\frac{π}{4})=3\cos 2(x+\frac{π}{8}),$ 故其函数图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到 $y=3\cos 2x$ 的图象.((1)向右平移,(2)平移量为 $\frac{|\varphi|}{ω}$)

3.函数$f(x)=\tan(3x-\dfrac{π}{6})$的相邻两个零点之间的距离为（）

A.$\dfrac{π}{6}$
B.$\dfrac{π}{4}$
C.$\dfrac{π}{3}$
D.$\dfrac{π}{2}$

3.C 正切型函数 $f(x)=\tan(3x-\frac{π}{6})$ 的相邻两个零点之间的距离等于它的最小正周期 $T=\frac{π}{3}.$

4.已知$\tanθ=\frac{1}{2}$，则$\frac{\sin2θ+\cos^2θ}{1+\sin^2θ}$的值为（）

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{6}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{7}{3}$

4.C 由题意,得 $\frac{\sin 2θ+\cos^2θ}{1+\sin^2θ}=\frac{2\sin θ\cos θ+\cos^2θ}{2\sin^2θ+\cos^2θ}=\frac{2\tan θ+1}{2\tan^2θ+1}=\frac{2× \frac{1}{2}+1}{2× \frac{1}{4}+1}=\frac{4}{3}.$

5.已知$\sinθ + \sin(θ - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{2}$，则$\sin(θ + \frac{5π}{6}) =$（）

A.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

5.B $\sin θ+\sin(θ-\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{6}}{2}⇒\sin θ+\frac{1}{2}\sin θ-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ=\frac{\sqrt{6}}{2}⇒\frac{3}{2}\sin θ-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ=\frac{\sqrt{6}}{2}⇒\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin θ-\frac{1}{2}\cos θ)=\frac{\sqrt{6}}{2}⇒\sqrt{3}\sin(θ-\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{6}}{2}⇒\sin(θ-\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{2}}{2},$则 $\sin(θ+\frac{5π}{6})=\sin(θ-\frac{π}{6}+π)=-\sin(θ-\frac{π}{6})=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$[图1]

6.已知$\sin(\frac{π}{6} - α)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\sin(2α - \frac{5π}{6})$的值为（）

A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

6.A $\sin(2α-\frac{5π}{6})=-\sin(\frac{5π}{6}-2α)=-\sin(\frac{π}{2}+\frac{π}{3}-2α)=-\cos(\frac{π}{3}-2α)=-\cos[2(\frac{π}{6}-α)]=-[1-2\sin^2(\frac{π}{6}-α)]=2\sin^2(\frac{π}{6}-α)-1=2×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2-1=-\frac{1}{3}.$(将 $\sin(2α-\frac{5π}{6})$ 逐步转化到 $-\cos(\frac{π}{3}-2α),$ 利用了 $\frac{5π}{6}=\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$)

7.已知函数$f(x)=2\sin(ω x+\varphi)(ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2})$的部分图象如图所示，则（）


A.$f(x)$在区间$[\frac{7π}{6},\frac{11π}{6}]$上单调递减
B.$f(x)$在区间$[\frac{4π}{3},\frac{11π}{6}]$上单调递增
C.$f(x)$的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度后得到的图象关于$y$轴对称
D.$f(x)$的图象向左平移$\frac{11π}{12}$个单位长度后得到的图象关于原点对称

7.D 观察题中图象,得 $f(0)=1,$ 则 $\sin \varphi=\frac{1}{2},$ 而 $|\varphi|＜\frac{π}{2},$所以 $\varphi=\frac{π}{6},$ 所以 $f(x)=2\sin(ω x+\frac{π}{6}).$由 $f(\frac{5π}{12})=0,$ 得 $\frac{5π}{12}ω+\frac{π}{6}=kπ,k\in\mathbf{Z},$解得 $ω=\frac{12k-2}{5},k\in\mathbf{Z}.$令函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T,$由 $\frac{T}{4}＜\frac{5π}{12}＜\frac{T}{2},T=\frac{2π}{ω},$ 得 $\frac{6}{5}＜ω＜\frac{12}{5},$因此取 $k=1,ω=2,$则 $f(x)=2\sin(2x+\frac{π}{6}).$当 $x\in[\frac{7π}{6},\frac{11π}{6}]$ 时, $2x+\frac{π}{6}\in[\frac{5π}{2},\frac{23π}{6}],$ 由正弦函数的图象可知, $f(x)$ 在区间 $[\frac{7π}{6},\frac{11π}{6}]$ 上不单调,故 A 错误;当 $x\in(\frac{4π}{3},\frac{11π}{6})$ 时, $2x+\frac{π}{6}\in[\frac{17π}{6},\frac{23π}{6}],$ 由正弦函数的图象可知, $f(x)$ 在区间 $[\frac{4π}{3},\frac{11π}{6}]$ 上不单调,故 B 错误;$f(x-\frac{π}{12})=2\sin[2(x-\frac{π}{12})+\frac{π}{6}]=2\sin 2x$ 是奇函数,图象关于原点对称,故 C 错误;$f(x+\frac{11π}{12})=2\sin[2(x+\frac{11π}{12})+\frac{π}{6}]=2\sin 2x$ 是奇函数,图象关于原点对称,故 D 正确.

8.已知函数$f(x)=2\sin(2x-\frac{π}{3})$，则下列说法错误的是（）

A.$f(\frac{π}{4})=\sqrt{3}$
B.函数$f(x)$图象的一条对称轴是$x=-\frac{π}{12}$
C.$f(x+\frac{π}{3})$是奇函数
D.若$0＜x_1＜x_2＜π$，则$f(x_1)＜f(x_2)$

8.ACD 由函数 $f(x)=2\sin(2x-\frac{π}{3}),$得 $f(\frac{π}{4})=2\sin(2×\frac{π}{4}-\frac{π}{3})=2\sin\frac{π}{6}=1,$ 故 A 符合题意.因为 $f(-\frac{π}{12})=2\sin(-\frac{π}{2})=-2=f(x)_{\min},$所以函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴是 $x=-\frac{π}{12},$ 故 B 不符合题意.由题意,得 $f(x+\frac{π}{3})=2\sin[2(x+\frac{π}{3})-\frac{π}{3}]=2\sin(2x+\frac{π}{3}).$令 $g(x)=f(x+\frac{π}{3})=2\sin(2x+\frac{π}{3}),$则 $g(-x)=2\sin(-2x+\frac{π}{3})=-2\sin(2x-\frac{π}{3})≠ -g(x),$所以不是奇函数,(也可以根据 $y=A\sin(ω x+\varphi)$ 是奇函数的充要条件是 $\varphi=kπ$ 判断, 显然 $\frac{π}{3}$ 不等于 $kπ,$ 故 $f(x+\frac{π}{3})$ 不是奇函数)故 C 符合题意.取 $x_1=\frac{5π}{12},x_2=\frac{7π}{12},$ 显然有 $0＜x_1＜x_2＜π.$因为 $f(x_1)=2\sin\frac{π}{2}=2,f(x_2)=2\sin\frac{5π}{6}=1,$ 此时 $f(x_1)＞f(x_2),$ 故 D 符合题意.[图2]

9.已知$0＜α＜π,\cosα=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,则$\boldsymbol{(\quad\quad)}$

A.$\sin(π-α)=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\cos(α-\dfrac{3π}{2})=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\sin(2α+\dfrac{π}{2})=-\dfrac{1}{3}$
D.$\tan(2α+\dfrac{π}{4})=\dfrac{9-4\sqrt{2}}{7}$

9.AC 由 $0＜α＜π,\cos α=\frac{\sqrt{3}}{3},$ 得 $\sin α=\sqrt{1-\cos^2α}=\frac{\sqrt{6}}{3},$$\tan α=\frac{\sin α}{\cos α}=\sqrt{2}.$$\sin(π-α)=\sin α=\frac{\sqrt{6}}{3},$ 故 A 正确;$\cos(α-\frac{3π}{2})=\cos(\frac{3π}{2}-α)=-\sin α=-\frac{\sqrt{6}}{3},$ 故 B 错误;$\sin(2α+\frac{π}{2})=\cos 2α=2\cos^2α-1=2×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2-1=-\frac{1}{3},$ 故 C 正确;$\tan(2α+\frac{π}{4})=\frac{\tan 2α+1}{1-\tan 2α}=\frac{\frac{2\tan α}{1-\tan^2α}+1}{1-\frac{2\tan α}{1-\tan^2α}}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{1-2}+1}{1-\frac{2\sqrt{2}}{1-2}}=\frac{1-2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}=\frac{(1-2\sqrt{2})^2}{1-8}=\frac{9-4\sqrt{2}}{-7}=\frac{4\sqrt{2}-9}{7},$ 故 D 错误.