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闯入迷魂阵
丁丁酷爱探险，他率领一些小伙伴成立了一个探险小分队。探险小分队在丁丁的带领下闯过各种各样的迷宫，其过程都既惊险又有趣。
一天，一个小伙伴告诉丁丁，他知道一个地方，据说那地方就像个迷魂阵，进去了就很难找到出来的路。
丁丁一听，便来了兴趣，立刻带着小伙伴奔赴那里。
原来，小伙伴说的地方是一片密集的翠竹林，丁丁到达后，和小伙伴们好奇地走了进去。走了一阵才发现，不妙了，每个地方的竹子长得都一模一样，他们根本分不清方向。
丁丁并没有慌，他明白这些竹子只是相似罢了，绝不可能完全相同。找出这些竹子的不同之处，就能找到出路了。
答案可能就藏在一个算术题里。是的，只要将以下算术题解出，出路也就自然呈现在眼前了，这道算术题是：
有三个分数：$\frac{1111}{11111}$，$\frac{11111}{111111}$，$\frac{111111}{1111111}$。比较一下，它们哪个大、哪个小？
你也试一试。
分析：一般比较分数的大小，都是先通分，然后再比较大小。如果我们按照这种方法来比较这三个分数的大小，显然是非常麻烦的。所以，我们就要考虑一下简便的方法。我们知道，$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，而$\frac{1}{2}$的倒数却比$\frac{1}{3}$的倒数小。一般情况下，如果一个分数的倒数大，这个分数反而小。那么这道题中，要比较三个分数的大小，我们只需要比较它们倒数的大小就可以了。
解法：$\frac{1111}{11111}$的倒数是$10 \frac{1}{11111}$，$\frac{11111}{111111}$的倒数是$10 \frac{1}{11111}$，$\frac{111111}{1111111}$的倒数是$10 \frac{1}{111111}$，
因为$10 \frac{1}{111111}＜10 \frac{1}{11111}＜10 \frac{1}{1111}$，所以$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$。
丁丁酷爱探险，他率领一些小伙伴成立了一个探险小分队。探险小分队在丁丁的带领下闯过各种各样的迷宫，其过程都既惊险又有趣。
一天，一个小伙伴告诉丁丁，他知道一个地方，据说那地方就像个迷魂阵，进去了就很难找到出来的路。
丁丁一听，便来了兴趣，立刻带着小伙伴奔赴那里。
原来，小伙伴说的地方是一片密集的翠竹林，丁丁到达后，和小伙伴们好奇地走了进去。走了一阵才发现，不妙了，每个地方的竹子长得都一模一样，他们根本分不清方向。
丁丁并没有慌，他明白这些竹子只是相似罢了，绝不可能完全相同。找出这些竹子的不同之处，就能找到出路了。
答案可能就藏在一个算术题里。是的，只要将以下算术题解出，出路也就自然呈现在眼前了，这道算术题是：
有三个分数：$\frac{1111}{11111}$，$\frac{11111}{111111}$，$\frac{111111}{1111111}$。比较一下，它们哪个大、哪个小？
你也试一试。
分析：一般比较分数的大小，都是先通分，然后再比较大小。如果我们按照这种方法来比较这三个分数的大小，显然是非常麻烦的。所以，我们就要考虑一下简便的方法。我们知道，$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，而$\frac{1}{2}$的倒数却比$\frac{1}{3}$的倒数小。一般情况下，如果一个分数的倒数大，这个分数反而小。那么这道题中，要比较三个分数的大小，我们只需要比较它们倒数的大小就可以了。
解法：$\frac{1111}{11111}$的倒数是$10 \frac{1}{11111}$，$\frac{11111}{111111}$的倒数是$10 \frac{1}{11111}$，$\frac{111111}{1111111}$的倒数是$10 \frac{1}{111111}$，
因为$10 \frac{1}{111111}＜10 \frac{1}{11111}＜10 \frac{1}{1111}$，所以$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$。
答案
$\frac{1111}{11111}$的倒数：$11111÷1111=10\frac{1}{1111}$
$\frac{11111}{111111}$的倒数：$111111÷11111=10\frac{1}{11111}$
$\frac{111111}{1111111}$的倒数：$1111111÷111111=10\frac{1}{111111}$
$10\frac{1}{111111}＜10\frac{1}{11111}＜10\frac{1}{1111}$
所以$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$
答：$\frac{111111}{1111111}$最大，$\frac{1111}{11111}$最小，三个分数的大小关系为$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$。
$\frac{11111}{111111}$的倒数：$111111÷11111=10\frac{1}{11111}$
$\frac{111111}{1111111}$的倒数：$1111111÷111111=10\frac{1}{111111}$
$10\frac{1}{111111}＜10\frac{1}{11111}＜10\frac{1}{1111}$
所以$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$
答：$\frac{111111}{1111111}$最大，$\frac{1111}{11111}$最小，三个分数的大小关系为$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$。
解析
【分析】
要比较这三个分数的大小，如果用常规通分的方法，数字太大计算非常繁琐。我们可以利用倒数的性质：对于大于0的分数，倒数越大，原分数反而越小。观察这三个分数的特点，分子都比分母少一位，且所有数位上的数都是1，我们可以先求出它们的倒数，将倒数转化为整数加分数的带分数形式，发现带分数的整数部分都相同，只需要比较分数部分的大小就能得出倒数的大小关系，反过来就能推出原分数的大小关系。
【解析】
1. 分别计算三个分数的倒数，转化为带分数：
$\frac{1111}{11111}$的倒数：$11111÷1111=10\frac{1}{1111}$
$\frac{11111}{111111}$的倒数：$111111÷11111=10\frac{1}{11111}$
$\frac{111111}{1111111}$的倒数：$1111111÷111111=10\frac{1}{111111}$
2. 比较倒数的大小：
三个带分数整数部分均为10，只需比较分数部分。分子相同的正分数，分母越大分数越小，因此$\frac{1}{111111}＜\frac{1}{11111}＜\frac{1}{1111}$，可得$10\frac{1}{111111}＜10\frac{1}{11111}＜10\frac{1}{1111}$。
3. 推导原分数大小：
正分数的倒数越小，原分数越大，因此可得出三个原分数的大小关系。
【答案】
$\frac{111111}{1111111}$最大，$\frac{1111}{11111}$最小，三个分数的大小关系为$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$。
【知识点】
1. 倒数的性质
2. 分数大小比较
【点评】
本题属于分数大小比较的巧算题型，打破了常规通分比较的固化思维，利用倒数的性质大幅简化了计算过程，能有效锻炼学生的巧算意识和灵活运用分数性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.5
要比较这三个分数的大小，如果用常规通分的方法，数字太大计算非常繁琐。我们可以利用倒数的性质：对于大于0的分数，倒数越大，原分数反而越小。观察这三个分数的特点，分子都比分母少一位，且所有数位上的数都是1，我们可以先求出它们的倒数，将倒数转化为整数加分数的带分数形式，发现带分数的整数部分都相同，只需要比较分数部分的大小就能得出倒数的大小关系，反过来就能推出原分数的大小关系。
【解析】
1. 分别计算三个分数的倒数，转化为带分数：
$\frac{1111}{11111}$的倒数：$11111÷1111=10\frac{1}{1111}$
$\frac{11111}{111111}$的倒数：$111111÷11111=10\frac{1}{11111}$
$\frac{111111}{1111111}$的倒数：$1111111÷111111=10\frac{1}{111111}$
2. 比较倒数的大小：
三个带分数整数部分均为10，只需比较分数部分。分子相同的正分数，分母越大分数越小，因此$\frac{1}{111111}＜\frac{1}{11111}＜\frac{1}{1111}$，可得$10\frac{1}{111111}＜10\frac{1}{11111}＜10\frac{1}{1111}$。
3. 推导原分数大小：
正分数的倒数越小，原分数越大，因此可得出三个原分数的大小关系。
【答案】
$\frac{111111}{1111111}$最大，$\frac{1111}{11111}$最小，三个分数的大小关系为$\frac{111111}{1111111}＞\frac{11111}{111111}＞\frac{1111}{11111}$。
【知识点】
1. 倒数的性质
2. 分数大小比较
【点评】
本题属于分数大小比较的巧算题型，打破了常规通分比较的固化思维，利用倒数的性质大幅简化了计算过程，能有效锻炼学生的巧算意识和灵活运用分数性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.5
