三、解答题(共58分)
8.(18分)某种产品的形状是长方体，长为8 cm，它的表面展开图如图所示.
(1)求这个长方体的体积；
(2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(即纸箱的表面积尽可能小).

8.解:(1)设长方体的高为x cm,则长方体的宽为(12-2x)cm,
根据题意,得12-2x+8+x+8=25,解得x=3,
所以长方体的高为3 cm,宽为6 cm,
长方体的体积为8×6×3=144(cm³).
(2)包装纸箱的长为15 cm,宽为12 cm,高为8 cm时,所用材料最少.

【分析】
(1) 要求长方体体积，需先确定长方体的长、宽、高。已知长为8cm，从展开图可知：竖直方向总长度12cm对应“宽+2×高”，水平方向总长度25cm对应“2×长 + 宽 + 高”。因此可设高为未知数，用含未知数的式子表示宽，代入水平方向的长度关系列一元一次方程求解，得到宽、高后即可计算体积。
(2) 要使纸箱表面积最小，需让10个长方体拼接时重叠的面面积尽可能大（重叠面越大，总表面积减少越多）。先明确单个长方体三个面的面积大小，再结合10的因数分解尝试不同摆放组合，比较不同组合对应的纸箱表面积，即可找到材料最少的方案。
【解析】
(1) 设长方体的高为$ x \, \mathrm{cm} $，由竖直方向总长度可得长方体的宽为$ (12-2x) \, \mathrm{cm} $。
根据水平方向总长度为25cm，列方程：
$ 12-2x + 8 + x + 8 = 25 $
解方程得$ x=3 $
因此长方体的高为3cm，宽为$ 12-2×3=6 \, \mathrm{cm} $。
长方体体积 = 长×宽×高 = $ 8×6×3 = 144 \, \mathrm{cm}^3 $。
(2) 单个长方体的长宽高分别为8cm、6cm、3cm，三个面的面积分别为$ 48 \, \mathrm{cm}^2 $、$ 24 \, \mathrm{cm}^2 $、$ 18 \, \mathrm{cm}^2 $，最大面面积为$ 48 \, \mathrm{cm}^2 $。
优先让最大面重叠，结合$ 10=2×5 $的因数分解：将2个产品沿宽的方向拼接（宽变为$ 6×2=12 \, \mathrm{cm} $），5个产品沿高的方向拼接（高变为$ 3×5=15 \, \mathrm{cm} $），保持长为8cm不变，此时纸箱表面积最小，所用材料最少。
【答案】
(1) 这个长方体的体积为$ 144 \, \mathrm{cm}^3 $；
(2) 包装纸箱的长为15 cm，宽为12 cm，高为8 cm时，所用材料最少。
【知识点】
长方体展开图、长方体体积计算、立体图形最优拼接
【点评】
本题将长方体的展开图、体积、表面积计算结合实际应用考查，第一问的关键是从展开图中提取长宽高的数量关系列方程求解，第二问需要理解“拼接时重合面越大总表面积越小”的规律，对空间想象能力和实际问题分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

9.(18分)如图①,有一个长6 cm,宽4 cm的长方形纸板,现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转$180°$,可按以下两种方案进行操作:
方案一:以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图②.
方案二:以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图③.
(1)上述操作能形成的几何体是,说明的事实是;
(2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大.

9.(1)圆柱 面动成体
(2)解:方案一:π×(6÷2)²×4=36π(cm³),
方案二:π×(4÷2)²×6=24π(cm³),
因为36π＞24π,所以方案一得到的圆柱的体积大.

【分析】
（1）长方形是平面图形，绕直线旋转后会得到立体图形，长方形绕对边中点连线旋转后形成的是圆柱，对应“面动成体”的几何事实；（2）要比较两种方案的体积大小，首先需明确不同方案下圆柱的底面半径和高：方案一以长6cm的对边中点连线为轴，底面半径是长的一半，高为长方形的宽；方案二以宽4cm的对边中点连线为轴，底面半径是宽的一半，高为长方形的长，再分别代入圆柱体积公式计算，最后比较数值大小即可。
【解析】
(1) 长方形绕一组对边中点所在直线旋转$180°$后形成的几何体是圆柱，该过程体现的几何事实是面动成体。
(2) 圆柱体积公式为$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高）：
方案一：以较长对边中点所在直线为轴旋转，底面半径$r_1=6÷2=3\mathrm{cm}$，高$h_1=4\mathrm{cm}$，
体积$V_1=π×(6÷2)^2×4=36π(\mathrm{cm}^3)$；
方案二：以较短对边中点所在直线为轴旋转，底面半径$r_2=4÷2=2\mathrm{cm}$，高$h_2=6\mathrm{cm}$，
体积$V_2=π×(4÷2)^2×6=24π(\mathrm{cm}^3)$；
因为$36π＞24π$，因此方案一得到的圆柱体积更大。
【答案】
(1) 圆柱；面动成体
(2) 方案一得到的几何体的体积大
【知识点】
面动成体，圆柱体积计算，图形的旋转
【点评】
本题结合旋转操作考查立体图形的形成和圆柱体积的计算，解题关键是准确判断不同旋转方式下圆柱对应的底面半径和高，避免混淆两个数值出现计算错误。
【难度系数】
0.8

10.(22分)如图,把一块边长为x厘米的铁皮的四个角各剪去一个边长为y厘米的小正方形,然后把它折成一个无盖长方体铁盒.
(1)该铁盒的高是厘米,底面积是平方厘米;(用含x,y的代数式表示)
(2)为了使铁盒底面达到废物利用的目的,现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面,要求既不重叠又恰好铺满(不考虑铁皮的厚度),求此时x与y之间的数量关系.

10.(1)y (x-2y)²
(2)解:由题意,得x-2y=2y,解得x=4y.
即此时x与y之间的数量关系是x=4y.

【分析】
（1）解决第一问首先要明确无盖长方体铁盒各部分和原铁皮、剪去小正方形的关系：折成铁盒后，剪去的小正方形的边长就是铁盒的高；铁盒的底面是正方形，原铁皮边长为x，四个角各剪去长为y的部分，因此底面正方形的边长为原边长减去两个y，再根据正方形面积公式即可求出底面积。
（2）解决第二问需要抓住“四个小正方形平铺在底面既不重叠又恰好铺满”的条件：四个边长为y的小正方形恰好铺满底面正方形，说明底面正方形的边长刚好等于2个小正方形的边长之和，据此列出等量关系求解即可得到x和y的关系。
【解析】
(1) 把铁皮四个角各剪去边长为y厘米的小正方形后折成无盖铁盒，铁盒的高等于剪去的小正方形的边长，因此高为y厘米；
折成铁盒后，底面是正方形，其边长为原铁皮边长减去左右两侧各剪去的y厘米，即$(x-2y)$厘米，因此底面积$=$边长$×$边长$=(x-2y)^2$平方厘米。
(2) 由题意可知，四个边长为y的小正方形刚好铺满铁盒底面（不重叠），说明底面正方形的边长等于2个小正方形的边长之和，因此可列等式：
$x - 2y = 2y$
移项计算得：$x = 4y$
即x与y的数量关系为$x=4y$。
【答案】
(1) $y$；$(x-2y)^2$
(2) $x=4y$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；长方体的展开与折叠
【点评】
本题结合生活中的铁皮折叠问题，考查了几何图形中边长的对应关系和方程的实际应用，解题的关键是准确理解折叠后各部分边长的对应关系，以及平铺条件下的边长等量关系，注重考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7