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1 [2025 常州]下列图形中,为三棱柱的侧面展开图的是 （
D
）答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆三棱柱的侧面构成特点：三棱柱有3个侧面，每个侧面都是长方形，因此它的侧面展开图应该是3个相连的长方形。接下来逐一判断每个选项的图形特征，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确三棱柱的侧面性质：三棱柱共有3个侧面，每个侧面均为矩形，因此其侧面展开图是3个并排相连的矩形。
对各选项逐一分析：
A选项：图形是3个三角形，不符合侧面为矩形的特征，排除；
B选项：图形是共顶点的3个三角形，属于三棱锥相关展开图，不是三棱柱侧面展开图，排除；
C选项：图形是扇形，是圆锥的侧面展开图，排除；
D选项：图形是3个并排相连的矩形，符合三棱柱侧面展开图的特征，当选。
【答案】
D
【知识点】
三棱柱特征；立体图形展开图识别
【点评】
本题考查常见立体图形侧面展开图的辨别，属于基础题型，熟练掌握各类常见几何体的展开图特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三棱柱的侧面构成特点：三棱柱有3个侧面，每个侧面都是长方形，因此它的侧面展开图应该是3个相连的长方形。接下来逐一判断每个选项的图形特征，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确三棱柱的侧面性质：三棱柱共有3个侧面，每个侧面均为矩形，因此其侧面展开图是3个并排相连的矩形。
对各选项逐一分析：
A选项：图形是3个三角形，不符合侧面为矩形的特征，排除；
B选项：图形是共顶点的3个三角形，属于三棱锥相关展开图，不是三棱柱侧面展开图，排除；
C选项：图形是扇形，是圆锥的侧面展开图，排除；
D选项：图形是3个并排相连的矩形，符合三棱柱侧面展开图的特征，当选。
【答案】
D
【知识点】
三棱柱特征；立体图形展开图识别
【点评】
本题考查常见立体图形侧面展开图的辨别，属于基础题型，熟练掌握各类常见几何体的展开图特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2 如图是一个正方体的表面展开图,把其折叠成正方体后,有“心”字一面的相对面上的字是 （
A.“数”
B.“养”
C.“学”
D.“核”
C
）A.“数”
B.“养”
C.“学”
D.“核”
答案
2. C
解析
【分析】
要解决正方体展开图找相对面的问题，我们可以用“相间、Z端是对面”的判定规律：同一行或同一列中，中间隔1个正方形的两个面是相对面，且相对面折叠后不会相邻。首先我们先把展开图中能确定的相对面逐一找出来，排除后就能得到“心”字的相对面。
【解析】
根据正方体展开图相对面的判定规则：
1. 观察同行的三个面“核”“心”“素”，“核”和“素”中间隔了“心”，因此“核”和“素”是相对面；
2. 观察同列的三个面“数”“素”“养”，“数”和“养”中间隔了“素”，因此“数”和“养”是相对面；
3. 剩余的两个面“心”和“学”即为相对面。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面展开图，相对面判定
【点评】
本题是正方体展开图的基础题型，核心考查相对面的识别，只要熟练掌握“相间、Z端是对面”的判定规律，就能快速准确得出答案，日常学习中要多积累不同类型展开图的相对面判断技巧。
【难度系数】
0.8
要解决正方体展开图找相对面的问题，我们可以用“相间、Z端是对面”的判定规律：同一行或同一列中，中间隔1个正方形的两个面是相对面，且相对面折叠后不会相邻。首先我们先把展开图中能确定的相对面逐一找出来，排除后就能得到“心”字的相对面。
【解析】
根据正方体展开图相对面的判定规则：
1. 观察同行的三个面“核”“心”“素”，“核”和“素”中间隔了“心”，因此“核”和“素”是相对面；
2. 观察同列的三个面“数”“素”“养”，“数”和“养”中间隔了“素”，因此“数”和“养”是相对面；
3. 剩余的两个面“心”和“学”即为相对面。
【答案】
C
【知识点】
正方体表面展开图，相对面判定
【点评】
本题是正方体展开图的基础题型，核心考查相对面的识别，只要熟练掌握“相间、Z端是对面”的判定规律，就能快速准确得出答案，日常学习中要多积累不同类型展开图的相对面判断技巧。
【难度系数】
0.8
3 如图所示为一个正方体纸盒的表面展开图，其中的六个正方形内分别标有“0”“1”“2”“5”“a”“b”（a，b表示两个数）.若将其围成正方体后，相对面上的两数之和相等，则$b - a$的值为
-1
.答案
3. -1
解析
【分析】
解决本题首先需要明确正方体展开图中相对面的判断规则：正方体表面展开图中，同一行或同一列间隔一个正方形的两个面为相对面。找到所有相对面后，先根据已知的一对相对面算出相对面的数字和，再结合“相对面上两数之和相等”的条件分别求出a、b的值，最后计算b-a即可。
【解析】
首先判断相对面：
观察展开图可知，数字5所在面和数字0所在面是相对面，因此相对面上的两数之和为$5 + 0 = 5$。
同时可知：1和a是相对面，2和b是相对面，根据相对面和相等可得：
$1 + a = 5$，解得$a = 4$；
$2 + b = 5$，解得$b = 3$。
因此$b - a = 3 - 4 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
正方体展开图相对面识别、代数式求值、一元一次方程应用
【点评】
本题是空间几何与代数的基础结合题型，核心是准确识别正方体展开图的相对面，再结合题目给出的等量关系计算即可，解题的关键在于熟练掌握正方体展开图相对面的判断方法。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要明确正方体展开图中相对面的判断规则：正方体表面展开图中，同一行或同一列间隔一个正方形的两个面为相对面。找到所有相对面后，先根据已知的一对相对面算出相对面的数字和，再结合“相对面上两数之和相等”的条件分别求出a、b的值，最后计算b-a即可。
【解析】
首先判断相对面：
观察展开图可知，数字5所在面和数字0所在面是相对面，因此相对面上的两数之和为$5 + 0 = 5$。
同时可知：1和a是相对面，2和b是相对面，根据相对面和相等可得：
$1 + a = 5$，解得$a = 4$；
$2 + b = 5$，解得$b = 3$。
因此$b - a = 3 - 4 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
正方体展开图相对面识别、代数式求值、一元一次方程应用
【点评】
本题是空间几何与代数的基础结合题型，核心是准确识别正方体展开图的相对面，再结合题目给出的等量关系计算即可，解题的关键在于熟练掌握正方体展开图相对面的判断方法。
【难度系数】
0.7
4 如图所示为某个几何体的表面展开图，则围成几何体后，与点E重合的两个点是
A,C
.答案
4. A,C
解析
【分析】
要解决展开图折叠后重合点的问题，核心是通过空间想象模拟折叠过程，折叠时重合的边对应的顶点也会重合。首先观察展开图的结构：该图包含1个正方形和4个三角形，是四棱锥的表面展开图，我们按折叠顺序逐步判断各点的位置关系，就能找到与E重合的点。
【解析】
我们模拟折叠过程：
1. 先将所有三角形向正方形DEFG所在平面的同一侧翻折，拼接相邻的公共边；
2. 翻折△BCD时，边CD与正方形的边DE完全重合，因此点C与点E重合；
3. 继续翻折其余三角形，拼接完成后，最上方的点A最终也会与点E重合，其余点均不与E重合。
【答案】
A,C
【知识点】
几何体的展开与折叠
【点评】
本题考查几何体展开图折叠后重合点的判断，解题时既可以通过空间想象模拟折叠过程，也可以通过动手裁剪、折叠展开图的方式直观得到结果，有助于锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决展开图折叠后重合点的问题，核心是通过空间想象模拟折叠过程，折叠时重合的边对应的顶点也会重合。首先观察展开图的结构：该图包含1个正方形和4个三角形，是四棱锥的表面展开图，我们按折叠顺序逐步判断各点的位置关系，就能找到与E重合的点。
【解析】
我们模拟折叠过程：
1. 先将所有三角形向正方形DEFG所在平面的同一侧翻折，拼接相邻的公共边；
2. 翻折△BCD时，边CD与正方形的边DE完全重合，因此点C与点E重合；
3. 继续翻折其余三角形，拼接完成后，最上方的点A最终也会与点E重合，其余点均不与E重合。
【答案】
A,C
【知识点】
几何体的展开与折叠
【点评】
本题考查几何体展开图折叠后重合点的判断，解题时既可以通过空间想象模拟折叠过程，也可以通过动手裁剪、折叠展开图的方式直观得到结果，有助于锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.6
5 如图,下列几个图形是一些常见几何体的表面展开图,请写出这些几何体的名称.
正方体
长方体
三棱柱
三棱锥
答案
5. 正方体 长方体 三棱柱 三棱锥
解析
【分析】
要判断各展开图对应的几何体，需结合常见几何体表面展开图的特征逐一分析：①正方体的展开图由6个完全相同的正方形构成；②长方体的展开图由6个长方形（特殊情况有2个相对面为正方形）构成，且相对的面大小、形状完全相同；③三棱柱的展开图包含2个全等的三角形（对应上下底面）和3个长方形（对应侧面）；④三棱锥的展开图由4个三角形构成。对照四个图形的组成特点就能确定对应的几何体。
【解析】
第一个图形由6个全等的正方形组成，符合正方体展开图的特征，对应几何体为正方体；
第二个图形由6个长方形组成，且相对的面大小相等，符合长方体展开图的特征，对应几何体为长方体；
第三个图形包含2个全等的三角形和3个长方形，符合三棱柱展开图的特征，对应几何体为三棱柱；
第四个图形由4个三角形组成，符合三棱锥展开图的特征，对应几何体为三棱锥。
【答案】
正方体；长方体；三棱柱；三棱锥
【知识点】
几何体表面展开图；正方体展开图特征；棱柱棱锥特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查常见几何体表面展开图的辨识能力，解题核心是熟记不同几何体展开图的构成特点，平时可通过动手折叠展开图的方式提升空间想象能力，降低这类题的出错率。
【难度系数】
0.8
要判断各展开图对应的几何体，需结合常见几何体表面展开图的特征逐一分析：①正方体的展开图由6个完全相同的正方形构成；②长方体的展开图由6个长方形（特殊情况有2个相对面为正方形）构成，且相对的面大小、形状完全相同；③三棱柱的展开图包含2个全等的三角形（对应上下底面）和3个长方形（对应侧面）；④三棱锥的展开图由4个三角形构成。对照四个图形的组成特点就能确定对应的几何体。
【解析】
第一个图形由6个全等的正方形组成，符合正方体展开图的特征，对应几何体为正方体；
第二个图形由6个长方形组成，且相对的面大小相等，符合长方体展开图的特征，对应几何体为长方体；
第三个图形包含2个全等的三角形和3个长方形，符合三棱柱展开图的特征，对应几何体为三棱柱；
第四个图形由4个三角形组成，符合三棱锥展开图的特征，对应几何体为三棱锥。
【答案】
正方体；长方体；三棱柱；三棱锥
【知识点】
几何体表面展开图；正方体展开图特征；棱柱棱锥特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查常见几何体表面展开图的辨识能力，解题核心是熟记不同几何体展开图的构成特点，平时可通过动手折叠展开图的方式提升空间想象能力，降低这类题的出错率。
【难度系数】
0.8
6 新考向 探究题 如图,每个小正方形的面积均为1.将左图中涂色的小正方形移动,得到右边拼成的长方形,根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数,可以得出图①、图②中的等式.
（1）请在图③的横线上写出第3个等式；
（2）用含$n$（$n$为正整数）的代数式表示第$n$个等式：______.
第1个等式:$2+4=2×3$
第2个等式:$2+4+6=3×4$
第3个等式:________
① ② ③
（1）请在图③的横线上写出第3个等式；
（2）用含$n$（$n$为正整数）的代数式表示第$n$个等式：______.
第1个等式:$2+4=2×3$
第2个等式:$2+4+6=3×4$
第3个等式:________
① ② ③
答案
6.（1）$2+4+6+8=4×5$ （2）$2+4+6+\dots+2(n+1)=(n+1)(n+2)$
解析
【分析】
解题时先观察已知的前2个等式的结构特征：①等式左边是从2开始的连续正偶数的和，第1个等式有2个加数，第2个等式有3个加数，可推出第m个等式的加数个数为m+1个；②等式右边是两个连续正整数的乘积，第一个乘数等于左边加数的个数，第二个乘数比第一个乘数大1。按照这个规律先写出第3个等式，再将规律推广到第n个等式即可。
【解析】
（1）观察前两个等式：
第1个等式：2个连续偶数相加，$2+4=2×3$
第2个等式：3个连续偶数相加，$2+4+6=3×4$
因此第3个等式应为4个连续偶数相加，右边为加数个数乘以（个数+1），即：
$2+4+6+8=4×5$
（2）推导第n个等式：
第n个等式中，左边是$(n+1)$个从2开始的连续偶数相加，最后一个偶数为$2(n+1)$，右边第一个乘数为加数个数$(n+1)$，第二个乘数为$(n+1)+1=n+2$，因此等式为：
$2+4+6+\dots+2(n+1)=(n+1)(n+2)$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2+4+6+8=4×5}$；（2）$\boldsymbol{2+4+6+\dots+2(n+1)=(n+1)(n+2)}$
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，需要通过观察已知等式的左右两边的共性特征归纳出通用规律，侧重考查观察能力和归纳总结能力，解题时可以先验证规律是否符合前两个示例，再推广到一般情况。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知的前2个等式的结构特征：①等式左边是从2开始的连续正偶数的和，第1个等式有2个加数，第2个等式有3个加数，可推出第m个等式的加数个数为m+1个；②等式右边是两个连续正整数的乘积，第一个乘数等于左边加数的个数，第二个乘数比第一个乘数大1。按照这个规律先写出第3个等式，再将规律推广到第n个等式即可。
【解析】
（1）观察前两个等式：
第1个等式：2个连续偶数相加，$2+4=2×3$
第2个等式：3个连续偶数相加，$2+4+6=3×4$
因此第3个等式应为4个连续偶数相加，右边为加数个数乘以（个数+1），即：
$2+4+6+8=4×5$
（2）推导第n个等式：
第n个等式中，左边是$(n+1)$个从2开始的连续偶数相加，最后一个偶数为$2(n+1)$，右边第一个乘数为加数个数$(n+1)$，第二个乘数为$(n+1)+1=n+2$，因此等式为：
$2+4+6+\dots+2(n+1)=(n+1)(n+2)$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2+4+6+8=4×5}$；（2）$\boldsymbol{2+4+6+\dots+2(n+1)=(n+1)(n+2)}$
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，需要通过观察已知等式的左右两边的共性特征归纳出通用规律，侧重考查观察能力和归纳总结能力，解题时可以先验证规律是否符合前两个示例，再推广到一般情况。
【难度系数】
0.8
