【典例1】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$，则其底角的度数为.

65°或 25°
解:分两种情况讨论：

【分析】
解决本题需结合等腰三角形的特性分类讨论：等腰三角形按角可分为锐角等腰三角形、钝角等腰三角形，腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，两种情况对应的顶角大小不同，因此需要先分情况计算顶角，再结合等腰三角形两底角相等的性质求底角。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，BD是腰AC上的高，即$BD⊥ AC$，$∠ ABD=40°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ A+∠ ABD=90°$，因此顶角$∠ A=90°-40°=50°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角为$\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
② 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，BD是腰AC上的高，即$BD⊥ AC$，交CA的延长线于点D，$∠ ABD=40°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD+∠ ABD=90°$，因此$∠ BAD=90°-40°=50°$，则顶角$∠ BAC=180°-∠ BAD=130°$。
所以底角为$\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-130°}{2}=25°$。
综上，底角度数为$65°$或$25°$。
【答案】
65°或25°


【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅计算锐角等腰三角形的底角导致漏解。解题时要结合等腰三角形的类型全面考虑，合理运用分类讨论思想，避免思维定式。
【难度系数】
0.6

变式.在$△ ABC$中,点$D$为$AC$的中点,$DE⊥ AC$交直线$BC$于点$E$,若$∠ AEC=50°$,则$∠ ACB=$.

65°或 115°

【分析】
首先根据已知条件“D为AC中点，DE⊥AC”可判定DE是AC的垂直平分线，利用垂直平分线性质可得AE=CE，即△AEC为等腰三角形。题中明确DE交“直线BC”于点E，因此需分两种情况讨论：①点E在线段BC上；②点E在BC的延长线上，再结合等腰三角形内角和性质分别计算∠ACB的度数即可。
【解析】
∵ 点D为AC的中点，DE⊥AC，
∴ DE是线段AC的垂直平分线，
∴ AE=CE，即△AEC是等腰三角形，∠EAC=∠ACE。
分两种情况计算：
1. 当点E在线段BC上时（对应图1）：
在△AEC中，∠AEC=50°，根据三角形内角和为180°，
可得$∠ ACE = \frac{180° - ∠ AEC}{2} = \frac{180° - 50°}{2}=65°$，
此时$∠ ACB=∠ ACE=65°$。
2. 当点E在BC的延长线上时（对应图2）：
同理可得△AEC为等腰三角形，$∠ ACE = \frac{180° - 50°}{2}=65°$，
此时∠ACB与∠ACE互补，即$∠ ACB=180°-∠ ACE=180°-65°=115°$。
综上，∠ACB的度数为65°或115°。
【答案】
65°或 115°


【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略“直线BC”的取值范围，仅考虑E在线段BC上的情况导致漏解，解题时需注意审题，准确把握几何语言的范围，结合等腰三角形的角度计算规则分类求解。
【难度系数】
0.6

【典例2】△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若$BM=AC$，求$∠ABC$的度数.

解:分∠ABC为锐角和钝角两种情况.
均有△BMD≌△ACD，
AD=BD.
∴∠ABC=45°或 135°.

【分析】
解题时首先要考虑三角形高的位置差异：当△ABC是锐角三角形时，两条高AD、BE的交点M在三角形内部；当∠ABC为钝角时，高AD、BE的交点M在三角形外部，因此需要分两种情况分类讨论。两种情况中均存在直角，可利用同角（或等角）的余角相等推导得到一组对应角相等，结合已知条件BM=AC，即可证明△BMD≌△ACD，得到AD=BD，进而推出△ABD为等腰直角三角形，最终计算出∠ABC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠ABC为锐角时：
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠MBD + ∠C = 90°，∠CAD + ∠C = 90°，
∴∠MBD = ∠CAD。
在△BMD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠MBD=∠CAD \\∠BDM=∠ADC=90° \\BM=AC\end{array} $
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴BD=AD，
又
∵∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°。
2. 当∠ABC为钝角时：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠MDB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠M + ∠MBD = 90°，∠C + ∠EBC = 90°，
又
∵∠MBD=∠EBC（对顶角相等），
∴∠M=∠C。
在△BMD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠M=∠C \\∠MDB=∠CDA=90° \\BM=AC\end{array} $
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴BD=AD，
又
∵∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°。
综上，∠ABC的度数为45°或135°。
【答案】
∠ABC的度数为45°或135°。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略钝角三角形的高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需结合图形分情况讨论，利用直角三角形的角的关系推导全等条件，通过全等转化边的关系是解题的核心。
【难度系数】
0.6

变式.已知点 P 为线段 CB 上方一点，$CA ⊥ CB$，$PA ⊥ PB$，且 $PA = PB$，$PM ⊥ BC$ 于 M，若 $CA = 1$，$PM = 4$，求 CB 的长.

解:①如图1,过 P 作 PN⊥CA 于 N，
△PMB≌△PNA，
∴PM=PN=4=CM，BM=AN=3，
∴BC=7

②如图 2,同理可得 BC=9.

【分析】
本题存在两种情况，需分类讨论。已知PA=PB且PA⊥PB，图形存在多组垂直关系，可通过作辅助线构造全等三角形转化边长：过P作PN⊥AC于N，先证明四边形PMCN为矩形得到边的等量关系，再证明△PNA和△PMB全等，将未知边BM转化为可求的AN，最后结合已知边长计算CB即可，注意A点的位置不同，AN的计算方式不同，对应CB的长度也不同。
【解析】
分两种情况求解：
① 当点A在线段NC上时（对应图1）：
过P作PN⊥CA，交CA的延长线于N。
∵CA⊥CB，PM⊥BC，PN⊥CA，
∴∠N=∠C=∠PMC=90°，即四边形PMCN是矩形，
∴PN=CM，PM=CN=4。
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∴∠APN+∠APM=∠BPM+∠APM=90°，即∠APN=∠BPM。
在△PNA和△PMB中：
$\begin{cases}∠ N=∠ PMB=90° \\∠ APN=∠ BPM \\PA=PB\end{cases}$
∴△PNA≌△PMB（AAS），
∴AN=BM，PN=PM=4，即CM=PN=4。
∵CA=1，
∴AN=CN-CA=4-1=3，即BM=3，
∴CB=CM+BM=4+3=7。
② 当点A在C的下方时（对应图2）：
过P作PN⊥CA，交AC的延长线于N，同理可证四边形PMCN为矩形，△PNA≌△PMB，
∴CM=PN=PM=4，CN=PM=4，AN=BM，
此时AN=CN+CA=4+1=5，即BM=5，
∴CB=CM+BM=4+5=9。
综上，CB的长为7或9。
【答案】
①如图1,过 P 作 PN⊥CA 于 N，
△PMB≌△PNA，
∴PM=PN=4=CM，BM=AN=3，
∴BC=7

②如图 2,同理可得 BC=9.

【知识点】
全等三角形判定与性质；矩形的性质；分类讨论
【点评】
本题是等腰直角三角形相关的经典几何题，核心解题思路是构造全等三角形实现边长的等量转化，解题时需注意点A的位置有两种情况，避免因漏解导致失分，能够有效考察几何辅助线构造能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.5

【典例3】平面直角坐标系中，已知A(2,2)，若在x轴上取点C，使△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）


A.2
B.3
C.4
D.5

C

【分析】
要解决平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题，需对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，共分三类情况：①以O为顶角顶点，OA为腰；②以A为顶角顶点，OA为腰；③以C为顶角顶点，OA为底。分别计算每种情况下x轴上符合条件的点C的个数，排除无法构成三角形的情况后求和即可。
【解析】
首先计算OA的长度：已知O为坐标原点(0,0)，A(2,2)，由勾股定理得$OA=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$。
分三类讨论：
1. 当O为顶角顶点，OA=OC时：
OC=OA=2√2，点C在x轴上，因此C的坐标为$(2\sqrt{2},0)$或$(-2\sqrt{2},0)$，共2个符合条件的点；
2. 当A为顶角顶点，OA=AC时：
AC=OA=2√2，设C(c,0)，由两点距离公式得$\sqrt{(c-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，平方化简得$(c-2)^2=4$，解得$c=4$或$c=0$。当$c=0$时，点C与原点O重合，无法构成三角形，舍去，因此仅得到1个符合条件的点$(4,0)$；
3. 当C为顶角顶点，OC=AC时：
点C在OA的垂直平分线上，OA的中点坐标为(1,1)，OA的斜率为1，故其垂直平分线斜率为-1，垂直平分线方程为$y-1=-(x-1)$，即$y=-x+2$，令$y=0$得$x=2$，因此C的坐标为$(2,0)$，共1个符合条件的点。
综上，符合条件的点C共有$2+1+1=4$个。
【答案】
C

【知识点】
等腰三角形的判定，平面直角坐标系，分类讨论思想
【点评】
本题是坐标系中等腰三角形存在性的典型题型，解题核心是按照顶角顶点的不同进行分类讨论，注意排除不能构成三角形的重合情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7

变式1.如图,在$3×4$网格中,$A,B$为格点,找一个格点$C$,使$△ ABC$为等腰三角形,这样的点$C$共有个.

5
提示:①以点 A 为圆心,AB 为半径画弧,有 3 个；
②以点 B 为圆心,AB 为半径画弧,有 2 个.

【分析】
要找到使△ABC为等腰三角形的格点C，需按等腰三角形的腰和底的关系分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（即AB=AC）；②AB为腰，B为顶角顶点（即AB=BC）；③AB为底（即AC=BC）。先通过勾股定理计算AB的长度，再分别用画弧、作垂直平分线的方法筛选符合条件的格点，最后统计总个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得：$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
分三类讨论：
1. 当$AB=AC$时，以点A为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点共有3个，均符合要求；
2. 当$AB=BC$时，以点B为圆心、AB长为半径画弧，弧经过的格点共有2个，均符合要求；
3. 当$AC=BC$时，作AB的垂直平分线，发现垂直平分线未经过网格中的格点，此类情况无符合条件的点C。
因此符合条件的点C总个数为$3+2=5$个。

【答案】
5

【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题结合网格特征考查等腰三角形的判定，核心是用分类讨论思想对等腰三角形的三类情况逐一分析，避免漏解或多解，解题时可通过画弧、作垂直平分线的方法直观定位符合条件的点。
【难度系数】
0.6

变式2.(2026·武汉)已知点P是等边三角形△ABC所在平面内一点，△PAB，△PBC，△PAC都为等腰三角形，这样的点P共有个。

10
提示:每边垂直平分线上各有 4 个点,重心公共,故共有 3+3+4=10(个).

【分析】
要找到使△PAB、△PBC、△PAC都为等腰三角形的点P，可结合等边三角形的轴对称性分析：等边三角形三边的垂直平分线是它的对称轴，满足到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，因此符合条件的点必然在三边的垂直平分线上。我们可以先分别找出每条垂直平分线上符合要求的点，再减去重复计数的公共点，即可得到总个数。
【解析】
我们分情况讨论：
1. 公共点：等边三角形的内心、外心、重心重合，该点到三个顶点的距离相等，即PA=PB=PC，此时△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，这是三条垂直平分线共有的1个点。
2. 单条边垂直平分线上的其余点：以AB边的垂直平分线为例，除了上述公共点外，还有3个符合条件的点：
① 以A为圆心，AB长为半径作弧，与AB的垂直平分线交于1个点，此时PA=AB=AC，PB=PA，PB=BC，三个三角形均为等腰；
② 以B为圆心，AB长为半径作弧，与AB的垂直平分线交于1个点，此时PB=AB=BC，PA=PB，PA=AC，三个三角形均为等腰；
③ 以C为圆心，BC长为半径作弧，与AB的垂直平分线交于1个点，此时PC=BC=AC，PA=PB，三个三角形均为等腰。
同理，BC、AC边的垂直平分线上也各有3个不与其他边重复的符合条件的点。
总个数为：$1 + 3×3 = 10$个。
【答案】
10
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定；垂直平分线的性质
【点评】
本题需要运用分类讨论思想求解，解题时要结合图形的轴对称性分析，注意不要漏算外部的点，也不要重复计算三条垂直平分线的公共点，对图形的感知能力要求较高。
【难度系数】
0.3