登录
1 计算$\dfrac{a^{2}b}{mn^{2}}· \dfrac{3mn}{ab}$的结果为（
A.$\dfrac{3b}{m}$
B.$\dfrac{3a}{mn}$
C.$\dfrac{3b}{mn}$
D.$\dfrac{3a}{n}$
D
）A.$\dfrac{3b}{m}$
B.$\dfrac{3a}{mn}$
C.$\dfrac{3b}{mn}$
D.$\dfrac{3a}{n}$
答案
1. D
解析
【分析】本题考查分式的乘法运算，解题思路是：先依据分式乘法法则，将两个分式的分子、分母分别相乘得到新分式，再找出分子与分母的公因式进行约分，化简后得到结果，最后匹配选项选出正确答案。
【解析】根据分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
则$\dfrac{a^{2}b}{mn^{2}}· \dfrac{3mn}{ab} = \dfrac{a^{2}b·3mn}{mn^{2}·ab}$
对分子、分母整理后约去公因式$abmn$，可得$\dfrac{3a}{n}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式的乘法运算
【点评】本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式乘法法则和约分方法，运算时需注意准确找出公因式，避免遗漏约分项。
【难度系数】0.7
【解析】根据分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
则$\dfrac{a^{2}b}{mn^{2}}· \dfrac{3mn}{ab} = \dfrac{a^{2}b·3mn}{mn^{2}·ab}$
对分子、分母整理后约去公因式$abmn$，可得$\dfrac{3a}{n}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式的乘法运算
【点评】本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式乘法法则和约分方法，运算时需注意准确找出公因式，避免遗漏约分项。
【难度系数】0.7
2 计算$\dfrac{2}{x^2-4} ÷ \dfrac{1}{x^2-2x}$的结果为（
A.$\dfrac{x}{x+2}$
B.$\dfrac{2x}{x+2}$
C.$\dfrac{2x}{x-2}$
D.$\dfrac{2}{x(x+2)}$
B
）A.$\dfrac{x}{x+2}$
B.$\dfrac{2x}{x+2}$
C.$\dfrac{2x}{x-2}$
D.$\dfrac{2}{x(x+2)}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题是分式的除法运算，解题思路为：先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对分子、分母的多项式进行因式分解，最后通过约分得到最简结果，从而选出正确选项。
【解析】
原式$=\dfrac{2}{x^2-4} ÷ \dfrac{1}{x^2-2x}$
$=\dfrac{2}{x^2-4} × (x^2-2x)$（分式除法法则：除以一个分式等于乘以它的倒数）
对多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$（平方差公式），$x^2-2x=x(x-2)$（提取公因式法）
代入得：
原式$=\dfrac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)$
约分后：$\dfrac{2x}{x+2}$
【答案】
B
【知识点】
分式的除法运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的基础运算，核心是掌握分式除法法则和多项式因式分解的方法，通过约分简化运算，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题是分式的除法运算，解题思路为：先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对分子、分母的多项式进行因式分解，最后通过约分得到最简结果，从而选出正确选项。
【解析】
原式$=\dfrac{2}{x^2-4} ÷ \dfrac{1}{x^2-2x}$
$=\dfrac{2}{x^2-4} × (x^2-2x)$（分式除法法则：除以一个分式等于乘以它的倒数）
对多项式因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$（平方差公式），$x^2-2x=x(x-2)$（提取公因式法）
代入得：
原式$=\dfrac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)$
约分后：$\dfrac{2x}{x+2}$
【答案】
B
【知识点】
分式的除法运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的基础运算，核心是掌握分式除法法则和多项式因式分解的方法，通过约分简化运算，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】
0.7
3 (易错题) 若$\dfrac{x+2}{x-3}÷\dfrac{x+1}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≠3且x≠-1且x≠2$
.答案
3. $x≠3且x≠-1且x≠2$
解析
【分析】
要确定分式除法有意义时x的取值范围，需明确：分式有意义的核心是分母不为0，而分式除法中，除式作为除数，不仅自身分母不能为0，其整体值也不能为0（除数不能为0）。本题需分别满足三个条件：被除式的分母≠0、除式的分母≠0、除式的分子≠0（保证除式整体≠0），据此列出不等式求解即可。
【解析】
解：要使$\dfrac{x+2}{x-3}÷\dfrac{x+1}{x-2}$有意义，需满足：
1. 被除式的分母不为0：$x - 3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$；
2. 除式的分母不为0：$x - 2 ≠ 0$，解得$x ≠ 2$；
3. 除式整体不为0（除数不能为0），即除式的分子不为0：$x + 1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$；
综上，$x$的取值范围是$x≠3且x≠-1且x≠2$。
【答案】
$x≠3且x≠-1且x≠2$
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法的意义
【点评】
本题为易错题，易错点在于忽略分式除法中除式本身不能为0的情况，仅考虑两个分式的分母，导致漏解，需牢记分式除法的有意义条件：被除式、除式的分母均不为0，且除式的分子也不为0。
【难度系数】
0.4
要确定分式除法有意义时x的取值范围，需明确：分式有意义的核心是分母不为0，而分式除法中，除式作为除数，不仅自身分母不能为0，其整体值也不能为0（除数不能为0）。本题需分别满足三个条件：被除式的分母≠0、除式的分母≠0、除式的分子≠0（保证除式整体≠0），据此列出不等式求解即可。
【解析】
解：要使$\dfrac{x+2}{x-3}÷\dfrac{x+1}{x-2}$有意义，需满足：
1. 被除式的分母不为0：$x - 3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$；
2. 除式的分母不为0：$x - 2 ≠ 0$，解得$x ≠ 2$；
3. 除式整体不为0（除数不能为0），即除式的分子不为0：$x + 1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$；
综上，$x$的取值范围是$x≠3且x≠-1且x≠2$。
【答案】
$x≠3且x≠-1且x≠2$
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法的意义
【点评】
本题为易错题，易错点在于忽略分式除法中除式本身不能为0的情况，仅考虑两个分式的分母，导致漏解，需牢记分式除法的有意义条件：被除式、除式的分母均不为0，且除式的分子也不为0。
【难度系数】
0.4
4 教材P146例1变式 计算：
(1) $\dfrac{3b}{4a}· \dfrac{2a^{3}}{b^{2}}$;
(2) $\dfrac{3xy}{5x^{2}}· \dfrac{2x^{2}y}{3z^{2}}$;
(3) $\dfrac{ab^{2}}{2cd}÷ \dfrac{-3ax}{4cd}.$
(1) $\dfrac{3b}{4a}· \dfrac{2a^{3}}{b^{2}}$;
(2) $\dfrac{3xy}{5x^{2}}· \dfrac{2x^{2}y}{3z^{2}}$;
(3) $\dfrac{ab^{2}}{2cd}÷ \dfrac{-3ax}{4cd}.$
答案
4. (1) $\dfrac{3a^{2}}{2b}$ (2) $\dfrac{2xy^{2}}{5z^{2}}$ (3) $-\dfrac{2b^{2}}{3x}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题思路为：①分式乘法遵循“分子相乘作分子，分母相乘作分母，再约分为最简分式”的法则；②分式除法需先转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再按乘法法则计算；计算时要注意系数符号、同底数幂的约分，最终结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则：
$\dfrac{3b}{4a}·\dfrac{2a^3}{b^2} = \dfrac{3b·2a^3}{4a·b^2}$
约分：系数约分为$\dfrac{3}{2}$，同底数幂$a^3÷a=a^2$，$b÷b^2=\dfrac{1}{b}$，
得结果$\dfrac{3a^2}{2b}$。
(2) 根据分式乘法法则：
$\dfrac{3xy}{5x^2}·\dfrac{2x^2y}{3z^2} = \dfrac{3xy·2x^2y}{5x^2·3z^2}$
约分：系数约分为$\dfrac{2}{5}$，同底数幂$x·x^2÷x^2=x$，$y·y=y^2$，
得结果$\dfrac{2xy^2}{5z^2}$。
(3) 根据分式除法法则，先转化为乘法：
$\dfrac{ab^2}{2cd}÷\dfrac{-3ax}{4cd} = \dfrac{ab^2}{2cd}·\dfrac{4cd}{-3ax}$
分子分母相乘后约分：系数约分为$-\dfrac{2}{3}$，$a$、$cd$分别约去，剩余$b^2÷x$，
得结果$-\dfrac{2b^2}{3x}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3a^{2}}{2b}$；(2) $\dfrac{2xy^{2}}{5z^{2}}$；(3) $-\dfrac{2b^{2}}{3x}$
【知识点】
分式的乘除运算、约分
【点评】
本题是教材例题的变式基础题，紧扣分式乘除的核心法则，重点考察约分与符号处理，是分式运算的必备基础题型，适合巩固分式运算的基本技能。
【难度系数】
0.5
本题考查分式的乘除运算，解题思路为：①分式乘法遵循“分子相乘作分子，分母相乘作分母，再约分为最简分式”的法则；②分式除法需先转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再按乘法法则计算；计算时要注意系数符号、同底数幂的约分，最终结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则：
$\dfrac{3b}{4a}·\dfrac{2a^3}{b^2} = \dfrac{3b·2a^3}{4a·b^2}$
约分：系数约分为$\dfrac{3}{2}$，同底数幂$a^3÷a=a^2$，$b÷b^2=\dfrac{1}{b}$，
得结果$\dfrac{3a^2}{2b}$。
(2) 根据分式乘法法则：
$\dfrac{3xy}{5x^2}·\dfrac{2x^2y}{3z^2} = \dfrac{3xy·2x^2y}{5x^2·3z^2}$
约分：系数约分为$\dfrac{2}{5}$，同底数幂$x·x^2÷x^2=x$，$y·y=y^2$，
得结果$\dfrac{2xy^2}{5z^2}$。
(3) 根据分式除法法则，先转化为乘法：
$\dfrac{ab^2}{2cd}÷\dfrac{-3ax}{4cd} = \dfrac{ab^2}{2cd}·\dfrac{4cd}{-3ax}$
分子分母相乘后约分：系数约分为$-\dfrac{2}{3}$，$a$、$cd$分别约去，剩余$b^2÷x$，
得结果$-\dfrac{2b^2}{3x}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3a^{2}}{2b}$；(2) $\dfrac{2xy^{2}}{5z^{2}}$；(3) $-\dfrac{2b^{2}}{3x}$
【知识点】
分式的乘除运算、约分
【点评】
本题是教材例题的变式基础题，紧扣分式乘除的核心法则，重点考察约分与符号处理，是分式运算的必备基础题型，适合巩固分式运算的基本技能。
【难度系数】
0.5
5 教材P147例2变式 计算：
(1) $\dfrac{12ab}{5a}÷ 8a^{2}b$；
(2)
；
(3) $\dfrac{16-m^{2}}{m^{2}+6m+9}· \dfrac{m+3}{4-m}$；
(4) $[2025\mathrm{ 崇川期末}]\dfrac{a^{2}-9}{a^{2}+6a+9}÷ \dfrac{a-3}{a}.$
(1) $\dfrac{12ab}{5a}÷ 8a^{2}b$；
(2)
；(3) $\dfrac{16-m^{2}}{m^{2}+6m+9}· \dfrac{m+3}{4-m}$；
(4) $[2025\mathrm{ 崇川期末}]\dfrac{a^{2}-9}{a^{2}+6a+9}÷ \dfrac{a-3}{a}.$
答案
5. (1) $\dfrac{3}{10a^{2}}$ (2) $x$ (3) $\dfrac{4+m}{m+3}$ (4) $\dfrac{a}{a+3}$
解析
【分析】
这是分式乘法的化简题，解题思路为：先对每个分式的分子、分母进行因式分解，再根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
解：原式 = $\dfrac{x^2 -1}{x+1} · \dfrac{x^2 -x}{x^2 -2x +1}$
对各部分因式分解：
$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，$x^2 -x=x(x-1)$，$x^2 -2x +1=(x-1)^2$
代入得：
原式 = $\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} · \dfrac{x(x-1)}{(x-1)^2}$
约分：约去公因式$(x+1)$和$(x-1)$，得：
原式 = $x$
【答案】
$x$
【知识点】
分式的乘法运算、因式分解
【点评】
本题属于分式乘法的基础化简题，核心是掌握因式分解（平方差公式、提公因式法、完全平方公式）和分式约分的规则，通过分解因式后约分即可快速得到结果，是教材例题的变式题，难度较低。
【难度系数】
0.6
这是分式乘法的化简题，解题思路为：先对每个分式的分子、分母进行因式分解，再根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
解：原式 = $\dfrac{x^2 -1}{x+1} · \dfrac{x^2 -x}{x^2 -2x +1}$
对各部分因式分解：
$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，$x^2 -x=x(x-1)$，$x^2 -2x +1=(x-1)^2$
代入得：
原式 = $\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} · \dfrac{x(x-1)}{(x-1)^2}$
约分：约去公因式$(x+1)$和$(x-1)$，得：
原式 = $x$
【答案】
$x$
【知识点】
分式的乘法运算、因式分解
【点评】
本题属于分式乘法的基础化简题，核心是掌握因式分解（平方差公式、提公因式法、完全平方公式）和分式约分的规则，通过分解因式后约分即可快速得到结果，是教材例题的变式题，难度较低。
【难度系数】
0.6
6 计算$\dfrac{2}{x^{2}-1} ÷ \dfrac{1}{x-a}$的结果是$\dfrac{2}{x-1}$，则$a$的值是（
A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$
B
）A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$
答案
6. B
解析
【分析】
本题需运用分式除法法则和平方差公式因式分解解题。思路为：先将原式的除法转化为乘法，对分母因式分解后约分，再结合已知结果建立关于a的等式，进而求出a的值。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
$\dfrac{2}{x^2 -1} ÷ \dfrac{1}{x - a} = \dfrac{2}{x^2 -1} × (x - a)$
对分母$x^2 -1$用平方差公式因式分解：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，代入上式得：
$\dfrac{2}{(x+1)(x-1)} × (x - a) = \dfrac{2(x - a)}{(x+1)(x-1)}$
已知运算结果为$\dfrac{2}{x-1}$，说明约分后分子的$(x - a)$需等于$(x + 1)$（才能约去分母的$(x+1)$），因此：
$x - a = x + 1$
两边同时减去$x$，得：$-a = 1$，即$a = -1$。
【答案】
B
【知识点】
分式的除法运算、平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式除法法则的应用和平方差公式的掌握，通过对比约分结果建立等量关系即可求解，难度适中，适合巩固分式运算的基础知识点。
【难度系数】
0.7
本题需运用分式除法法则和平方差公式因式分解解题。思路为：先将原式的除法转化为乘法，对分母因式分解后约分，再结合已知结果建立关于a的等式，进而求出a的值。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
$\dfrac{2}{x^2 -1} ÷ \dfrac{1}{x - a} = \dfrac{2}{x^2 -1} × (x - a)$
对分母$x^2 -1$用平方差公式因式分解：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，代入上式得：
$\dfrac{2}{(x+1)(x-1)} × (x - a) = \dfrac{2(x - a)}{(x+1)(x-1)}$
已知运算结果为$\dfrac{2}{x-1}$，说明约分后分子的$(x - a)$需等于$(x + 1)$（才能约去分母的$(x+1)$），因此：
$x - a = x + 1$
两边同时减去$x$，得：$-a = 1$，即$a = -1$。
【答案】
B
【知识点】
分式的除法运算、平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式除法法则的应用和平方差公式的掌握，通过对比约分结果建立等量关系即可求解，难度适中，适合巩固分式运算的基础知识点。
【难度系数】
0.7
