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1. 小明的爸爸每上4天班休息1天，妈妈是每上5天班休息1天。3月4日爸爸、妈妈都在家休息，再到()月()日他们又可以同时在家休息。
答案
4；3
解析
首先计算两人的休息周期：爸爸每上4天班休息1天，休息周期为4+1=5天；妈妈每上5天班休息1天，休息周期为5+1=6天。
两人同时休息的间隔天数是5和6的最小公倍数，5和6是互质数，它们的最小公倍数是5×6=30，即每隔30天两人会同时休息。
已知3月4日两人同时休息，3月共有31天，3月4日到3月31日剩余的天数为31-4=27天，30-27=3，因此下一次同时休息的日期是4月3日。
两人同时休息的间隔天数是5和6的最小公倍数，5和6是互质数，它们的最小公倍数是5×6=30，即每隔30天两人会同时休息。
已知3月4日两人同时休息，3月共有31天，3月4日到3月31日剩余的天数为31-4=27天，30-27=3，因此下一次同时休息的日期是4月3日。
2. 下面的算式是按照一定的规律排列的：
$4+2,5+7,6+12,7+17······$那么第10个算式是________，和为102的算式是________。
$4+2,5+7,6+12,7+17······$那么第10个算式是________，和为102的算式是________。
答案
$13+47$；$20+82$
解析
我们将算式拆分为前后两个加数分别找规律：
1. 第一个加数的规律：依次为4、5、6、7……后一个数比前一个数大1，因此第n个算式的第一个加数为$4+(n-1)×1 = n+3$。
2. 第二个加数的规律：依次为2、7、12、17……后一个数比前一个数大5，因此第n个算式的第二个加数为$2+(n-1)×5 = 5n-3$。
① 求第10个算式：代入n=10，第一个加数$=10+3=13$，第二个加数$=5×10-3=47$，得到第10个算式。
② 求和为102的算式：第n个算式的和为$(n+3)+(5n-3)=6n$，令$6n=102$，解得$n=17$，代入得第一个加数$=17+3=20$，第二个加数$=5×17-3=82$，得到对应算式。
1. 第一个加数的规律：依次为4、5、6、7……后一个数比前一个数大1，因此第n个算式的第一个加数为$4+(n-1)×1 = n+3$。
2. 第二个加数的规律：依次为2、7、12、17……后一个数比前一个数大5，因此第n个算式的第二个加数为$2+(n-1)×5 = 5n-3$。
① 求第10个算式：代入n=10，第一个加数$=10+3=13$，第二个加数$=5×10-3=47$，得到第10个算式。
② 求和为102的算式：第n个算式的和为$(n+3)+(5n-3)=6n$，令$6n=102$，解得$n=17$，代入得第一个加数$=17+3=20$，第二个加数$=5×17-3=82$，得到对应算式。
3. 打开数学课本，左右两边页码的和是（）数；若$ n $表示一个非零的自然数，则$ 2n + 1 $表示（）数。（填“奇”或“偶”）
答案
奇；奇
解析
① 数学课本左右两边的页码是相邻的两个自然数，相邻两个自然数中必定一个是奇数、一个是偶数，根据“奇数+偶数=奇数”的规律，可得左右两边页码的和是奇数。② 已知n表示非零自然数，2n一定是2的倍数，属于偶数，偶数加1得到的数不能被2整除，因此2n+1表示奇数。
二、判断题。
1. 任何数都没有最大的倍数。 （）
2. 1是所有非零自然数的因数。 （）
3. 质数与质数的乘积还是质数。 （）
4. 个位上是3、6、9的数都能被3整除。 （）
5. 一个数的因数总是比这个数小。 （）
1. 任何数都没有最大的倍数。 （）
2. 1是所有非零自然数的因数。 （）
3. 质数与质数的乘积还是质数。 （）
4. 个位上是3、6、9的数都能被3整除。 （）
5. 一个数的因数总是比这个数小。 （）
答案
1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.×
解析
1. 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，不存在最大的倍数，因此该说法正确。
2. 所有非零自然数都能被1整除，因此1是所有非零自然数的因数，该说法正确。
3. 质数与质数的乘积，除了1和乘积本身两个因数外，还有这两个质数作为因数，属于合数，因此乘积不是质数，该说法错误。
4. 能被3整除的数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，并非个位是3、6、9的数都能被3整除，例如13个位是3，但不能被3整除，该说法错误。
5. 一个数的最大因数是它本身，和这个数相等，并非所有因数都比这个数小，例如5的因数包含5，和自身相等，该说法错误。
2. 所有非零自然数都能被1整除，因此1是所有非零自然数的因数，该说法正确。
3. 质数与质数的乘积，除了1和乘积本身两个因数外，还有这两个质数作为因数，属于合数，因此乘积不是质数，该说法错误。
4. 能被3整除的数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，并非个位是3、6、9的数都能被3整除，例如13个位是3，但不能被3整除，该说法错误。
5. 一个数的最大因数是它本身，和这个数相等，并非所有因数都比这个数小，例如5的因数包含5，和自身相等，该说法错误。
三、列方程解决问题。
1. 如图,一个密封的长方体水缸,长10厘米,宽8厘米,高15厘米,里面的水深为1.2分米。小军不小心把水缸弄倒了,求现在水缸内水深为多少厘米。
1. 如图,一个密封的长方体水缸,长10厘米,宽8厘米,高15厘米,里面的水深为1.2分米。小军不小心把水缸弄倒了,求现在水缸内水深为多少厘米。
答案
8厘米
解析
先统一单位：1.2分米=12厘米。
本题中水的体积始终保持不变，设现在水缸内水深为x厘米。
水缸竖直放置时，水的体积为：10×8×12 立方厘米；
水缸放倒后，容器的底面变为长15厘米、宽8厘米的面，此时水的体积可表示为：15×8×x 立方厘米。
根据水的体积相等列方程：
$15×8× x = 10×8×12$
$120x = 960$
$x = 8$
本题中水的体积始终保持不变，设现在水缸内水深为x厘米。
水缸竖直放置时，水的体积为：10×8×12 立方厘米；
水缸放倒后，容器的底面变为长15厘米、宽8厘米的面，此时水的体积可表示为：15×8×x 立方厘米。
根据水的体积相等列方程：
$15×8× x = 10×8×12$
$120x = 960$
$x = 8$
2. 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,甲车每小时行驶50千米,乙车每小时行驶40千米。相遇时两车距离中点10千米,两车从出发到相遇需要多少小时?
答案
2小时
解析
这是典型的行程相遇问题，解题步骤如下：
1. 计算路程差：甲车速度比乙车快，相遇时甲车驶过中点10千米，乙车还距离中点10千米，因此甲车比乙车多行驶的总路程为 $10×2=20$ 千米。
2. 计算速度差：甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶40千米，每小时甲车比乙车多行驶 $50-40=10$ 千米。
3. 计算相遇时间：用总路程差除以每小时的速度差，即可得到行驶时间，即 $20÷10=2$ 小时。
1. 计算路程差：甲车速度比乙车快，相遇时甲车驶过中点10千米，乙车还距离中点10千米，因此甲车比乙车多行驶的总路程为 $10×2=20$ 千米。
2. 计算速度差：甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶40千米，每小时甲车比乙车多行驶 $50-40=10$ 千米。
3. 计算相遇时间：用总路程差除以每小时的速度差，即可得到行驶时间，即 $20÷10=2$ 小时。
1. 找规律填数。
(1) $1,\frac{2}{3},\frac{5}{8},\frac{13}{21},(\quad)$。
(2) $67,54,46,35,29,(\quad)$。
(1) $1,\frac{2}{3},\frac{5}{8},\frac{13}{21},(\quad)$。
(2) $67,54,46,35,29,(\quad)$。
答案
(1)$\frac{34}{55}$；(2)20
解析
(1) 先把第一个数1改写为$\frac{1}{1}$，可得到规律：后一个数的分子 = 前一个数的分子 + 前一个数的分母，后一个数的分母 = 前一个数的分母 + 新得到的分子。
验证：$\frac{1}{1}$的分子分母相加得2，作为第二个数的分子，1+2=3作为第二个数的分母，得到$\frac{2}{3}$；$\frac{2}{3}$的分子分母相加得5，作为第三个数的分子，3+5=8作为第三个数的分母，得到$\frac{5}{8}$，完全符合数列规律。
因此括号内数的分子为$13+21=34$，分母为$21+34=55$，即$\frac{34}{55}$。
(2) 计算相邻两数的和：$67+54=121=11^2$，$54+46=100=10^2$，$46+35=81=9^2$，$35+29=64=8^2$，规律为相邻两个数的和依次是11、10、9、8的平方，下一组相邻数的和应为$7^2=49$，因此括号内的数为$49-29=20$。
验证：$\frac{1}{1}$的分子分母相加得2，作为第二个数的分子，1+2=3作为第二个数的分母，得到$\frac{2}{3}$；$\frac{2}{3}$的分子分母相加得5，作为第三个数的分子，3+5=8作为第三个数的分母，得到$\frac{5}{8}$，完全符合数列规律。
因此括号内数的分子为$13+21=34$，分母为$21+34=55$，即$\frac{34}{55}$。
(2) 计算相邻两数的和：$67+54=121=11^2$，$54+46=100=10^2$，$46+35=81=9^2$，$35+29=64=8^2$，规律为相邻两个数的和依次是11、10、9、8的平方，下一组相邻数的和应为$7^2=49$，因此括号内的数为$49-29=20$。
2. 将自然数排列如下。
在这个数阵里,小明用长方形框出9个数。
（1）任意移动几次,每次框住的9个数的和与中间的数有什么关系?
（2）如果框住的9个数的和是225,那么你能列方程求出中间的一个数吗?
（3）一共可以框出多少个不同的和?
在这个数阵里,小明用长方形框出9个数。
（1）任意移动几次,每次框住的9个数的和与中间的数有什么关系?
（2）如果框住的9个数的和是225,那么你能列方程求出中间的一个数吗?
（3）一共可以框出多少个不同的和?
答案
（1）框住的9个数的和是中间数的9倍
（2）中间的数是25
（3）12个
（2）中间的数是25
（3）12个
解析
（1）我们任选两组框出的9个数计算验证：
第一组：9、10、11、17、18、19、25、26、27，总和为9+10+11+17+18+19+25+26+27=162，162÷18=9；
第二组：10、11、12、18、19、20、26、27、28，总和为171，171÷19=9。
规律推导：每行的3个数中，左右两数之和是该行中间数的2倍，因此每行3数和为该行中间数的3倍；三行的上下两行中间数之和，恰好是框中心中间数的2倍，最终可得9个数的总和=9×中心数。
结论：框住的9个数的和是中间数的9倍。
（2）设中间的数为x，根据第(1)题的规律列方程：
$9x=225$
解得：$x=225÷9=25$
（3）数阵每行有8个数，要框出连续3列，可选的起始列共$8-3+1=6$种；数阵总共有4行，要框出连续3行，可选的起始行共$4-3+1=2$种。
总不同框法为$6×2=12$种，每种框法对应不同的和，因此共有12个不同的和。
第一组：9、10、11、17、18、19、25、26、27，总和为9+10+11+17+18+19+25+26+27=162，162÷18=9；
第二组：10、11、12、18、19、20、26、27、28，总和为171，171÷19=9。
规律推导：每行的3个数中，左右两数之和是该行中间数的2倍，因此每行3数和为该行中间数的3倍；三行的上下两行中间数之和，恰好是框中心中间数的2倍，最终可得9个数的总和=9×中心数。
结论：框住的9个数的和是中间数的9倍。
（2）设中间的数为x，根据第(1)题的规律列方程：
$9x=225$
解得：$x=225÷9=25$
（3）数阵每行有8个数，要框出连续3列，可选的起始列共$8-3+1=6$种；数阵总共有4行，要框出连续3行，可选的起始行共$4-3+1=2$种。
总不同框法为$6×2=12$种，每种框法对应不同的和，因此共有12个不同的和。
