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1 计算$(2x-1)(5x+2)$的结果为（
A.$10x^{2}-2$
B.$10x^{2}-5x-2$
C.$10x^{2}+4x-2$
D.$10x^{2}-x-2$
D
）A.$10x^{2}-2$
B.$10x^{2}-5x-2$
C.$10x^{2}+4x-2$
D.$10x^{2}-x-2$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是：根据多项式乘多项式的运算法则，用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加，最后合并同类项，将结果与选项对比即可得出答案。
【解析】
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(2x - 1)(5x + 2)&=2x·5x + 2x·2 + (-1)·5x + (-1)·2\\&=10x^2 + 4x - 5x - 2\\&=10x^2 - x - 2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握多项式乘多项式的运算法则，运算过程中需注意符号的处理和同类项的合并，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是：根据多项式乘多项式的运算法则，用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加，最后合并同类项，将结果与选项对比即可得出答案。
【解析】
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(2x - 1)(5x + 2)&=2x·5x + 2x·2 + (-1)·5x + (-1)·2\\&=10x^2 + 4x - 5x - 2\\&=10x^2 - x - 2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握多项式乘多项式的运算法则，运算过程中需注意符号的处理和同类项的合并，难度较低。
【难度系数】
0.8
2 教材 P106 问题2变式 如图,甲、乙、丙、丁四名同学分别给出了表示该长方形面积的多项式:① $(2a+b)(m+n)$;② $2a(m+n)+b(m+n)$;③ $m(2a+b)+n(2a+b)$;④ $2am+2an+bm+bn$.其中,正确的是（
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
D
）A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
答案
2. D
解析
【分析】要判断各多项式是否正确，需先确定大长方形的长和宽，再结合长方形面积公式、整式乘法的分配律（多项式乘多项式法则）逐一验证。首先观察图形，大长方形的长为 $a + b + a = 2a + b$，宽为 $m + n$，以此为基础推导各表达式的正确性。
【解析】1. 长方形面积公式为“面积=长×宽”，代入长$2a+b$、宽$m+n$，可得面积为$(2a+b)(m+n)$，故①正确；
2. 根据乘法分配律，$(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)$，故②正确；
3. 同理，将$(m+n)$看作整体，$(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)$，故③正确；
4. 展开②式：$2a(m+n)+b(m+n)=2am+2an+bm+bn$，故④正确；
综上，①②③④均正确。
【答案】D
【知识点】长方形面积计算、整式乘法分配律、多项式乘多项式
【点评】本题结合图形考查整式乘法的应用，核心是利用长方形面积公式和分配律推导不同形式的面积表达式，属于基础运算题，需掌握多项式乘多项式的展开方法。
【难度系数】0.6
【解析】1. 长方形面积公式为“面积=长×宽”，代入长$2a+b$、宽$m+n$，可得面积为$(2a+b)(m+n)$，故①正确；
2. 根据乘法分配律，$(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)$，故②正确；
3. 同理，将$(m+n)$看作整体，$(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)$，故③正确；
4. 展开②式：$2a(m+n)+b(m+n)=2am+2an+bm+bn$，故④正确；
综上，①②③④均正确。
【答案】D
【知识点】长方形面积计算、整式乘法分配律、多项式乘多项式
【点评】本题结合图形考查整式乘法的应用，核心是利用长方形面积公式和分配律推导不同形式的面积表达式，属于基础运算题，需掌握多项式乘多项式的展开方法。
【难度系数】0.6
3 整体思想 [2025 如皋期末]若$x+y=1$且$xy=-2$,则代数式$(1-x)(1-y)$的值是 （
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A
）A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
3. A
解析
【分析】要计算代数式$(1-x)(1-y)$的值，首先对该代数式展开化简，会得到包含$x+y$和$xy$的形式，而题目已给出$x+y$和$xy$的具体值，因此利用整体代入法，将已知条件代入化简后的式子即可求出结果，无需单独求解$x$和$y$。
【解析】先展开所求代数式：
$\begin{aligned}(1-x)(1-y)&=1 - x - y + xy\\&=1 - (x + y) + xy\end{aligned}$
将已知$x+y=1$，$xy=-2$代入上式：
$1 - 1 + (-2) = -2$
所以答案选A。
【答案】A
【知识点】整体思想，代数式求值，整式的乘法
【点评】本题考查整体思想在代数式求值中的应用，核心是通过整式乘法展开代数式，将其转化为已知条件的组合形式，简化计算过程，是初中代数中常见的基础题型，需熟练掌握整体代入的解题方法。
【难度系数】0.7
【解析】先展开所求代数式：
$\begin{aligned}(1-x)(1-y)&=1 - x - y + xy\\&=1 - (x + y) + xy\end{aligned}$
将已知$x+y=1$，$xy=-2$代入上式：
$1 - 1 + (-2) = -2$
所以答案选A。
【答案】A
【知识点】整体思想，代数式求值，整式的乘法
【点评】本题考查整体思想在代数式求值中的应用，核心是通过整式乘法展开代数式，将其转化为已知条件的组合形式，简化计算过程，是初中代数中常见的基础题型，需熟练掌握整体代入的解题方法。
【难度系数】0.7
4 教材 P107 例3 变式 计算：
(1) $(x+3)(x-4)=$
(2) $(x+3)(x+4)=$
(3) $(x-3)(x+4)=$
(4) $(x-3)(x-4)=$
(5) $(2x+1)(x-7)=$
(6) $(3x-1)(2x+3)=$
(1) $(x+3)(x-4)=$
$x^2-x-12$
；(2) $(x+3)(x+4)=$
$x^2+7x+12$
；(3) $(x-3)(x+4)=$
$x^2+x-12$
；(4) $(x-3)(x-4)=$
$x^2-7x+12$
；(5) $(2x+1)(x-7)=$
$2x^2-13x-7$
；(6) $(3x-1)(2x+3)=$
$6x^2+7x-3$
.答案
4. (1) $x^2-x-12$ (2) $x^2+7x+12$ (3) $x^2+x-12$ (4) $x^2-7x+12$ (5) $2x^2-13x-7$ (6) $6x^2+7x-3$
解析
【分析】本题考查多项式乘多项式的计算，解题时需运用多项式乘法法则：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到结果，计算时要注意各项的符号，避免出错。
【解析】
(1) 根据多项式乘法法则：
$(x+3)(x-4) = x·x + x·(-4) + 3·x + 3·(-4) = x^2 -4x +3x -12 = x^2 -x -12$；
(2) $(x+3)(x+4) = x·x + x·4 + 3·x + 3·4 = x^2 +4x +3x +12 = x^2 +7x +12$；
(3) $(x-3)(x+4) = x·x + x·4 + (-3)·x + (-3)·4 = x^2 +4x -3x -12 = x^2 +x -12$；
(4) $(x-3)(x-4) = x·x + x·(-4) + (-3)·x + (-3)·(-4) = x^2 -4x -3x +12 = x^2 -7x +12$；
(5) $(2x+1)(x-7) = 2x·x + 2x·(-7) +1·x +1·(-7) = 2x^2 -14x +x -7 = 2x^2 -13x -7$；
(6) $(3x-1)(2x+3) = 3x·2x +3x·3 + (-1)·2x + (-1)·3 = 6x^2 +9x -2x -3 = 6x^2 +7x -3$；
【答案】(1) $x^2 -x -12$；(2) $x^2 +7x +12$；(3) $x^2 +x -12$；(4) $x^2 -7x +12$；(5) $2x^2 -13x -7$；(6) $6x^2 +7x -3$
【知识点】多项式乘多项式，合并同类项，整式运算
【点评】本题是多项式乘多项式的基础变式练习，主要考查对多项式乘法法则的掌握，计算时需注意符号处理和同类项合并，是整式乘法的重要基础题型，适合巩固基础知识。
【难度系数】0.9
【解析】
(1) 根据多项式乘法法则：
$(x+3)(x-4) = x·x + x·(-4) + 3·x + 3·(-4) = x^2 -4x +3x -12 = x^2 -x -12$；
(2) $(x+3)(x+4) = x·x + x·4 + 3·x + 3·4 = x^2 +4x +3x +12 = x^2 +7x +12$；
(3) $(x-3)(x+4) = x·x + x·4 + (-3)·x + (-3)·4 = x^2 +4x -3x -12 = x^2 +x -12$；
(4) $(x-3)(x-4) = x·x + x·(-4) + (-3)·x + (-3)·(-4) = x^2 -4x -3x +12 = x^2 -7x +12$；
(5) $(2x+1)(x-7) = 2x·x + 2x·(-7) +1·x +1·(-7) = 2x^2 -14x +x -7 = 2x^2 -13x -7$；
(6) $(3x-1)(2x+3) = 3x·2x +3x·3 + (-1)·2x + (-1)·3 = 6x^2 +9x -2x -3 = 6x^2 +7x -3$；
【答案】(1) $x^2 -x -12$；(2) $x^2 +7x +12$；(3) $x^2 +x -12$；(4) $x^2 -7x +12$；(5) $2x^2 -13x -7$；(6) $6x^2 +7x -3$
【知识点】多项式乘多项式，合并同类项，整式运算
【点评】本题是多项式乘多项式的基础变式练习，主要考查对多项式乘法法则的掌握，计算时需注意符号处理和同类项合并，是整式乘法的重要基础题型，适合巩固基础知识。
【难度系数】0.9
5 一个长方体的长、宽、高分别是$3x-4,2x+1,x$,则它的体积是
$6x^3-5x^2-4x$
.答案
5. $6x^3-5x^2-4x$
解析
【分析】
要计算长方体的体积，需牢记长方体体积公式：体积=长×宽×高。本题中长、宽、高分别为$3x - 4$、$2x + 1$、$x$，因此先将这三个表达式相乘，再通过多项式乘法法则展开化简，即可得到结果。
【解析】
根据长方体体积公式，体积为：
$\begin{aligned}&(3x - 4)(2x + 1) · x\\=&(3x · 2x + 3x · 1 - 4 · 2x - 4 · 1) · x\\=&(6x^2 + 3x - 8x - 4) · x\\=&(6x^2 - 5x - 4) · x\\=&6x^3 - 5x^2 - 4x\end{aligned}$
【答案】
$6x^3 -5x^2 -4x$
【知识点】
长方体体积公式、多项式乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础应用，核心是掌握多项式乘多项式的运算法则，计算时需注意同类项的合并和符号的处理，整体难度较低。
【难度系数】
0.6
要计算长方体的体积，需牢记长方体体积公式：体积=长×宽×高。本题中长、宽、高分别为$3x - 4$、$2x + 1$、$x$，因此先将这三个表达式相乘，再通过多项式乘法法则展开化简，即可得到结果。
【解析】
根据长方体体积公式，体积为：
$\begin{aligned}&(3x - 4)(2x + 1) · x\\=&(3x · 2x + 3x · 1 - 4 · 2x - 4 · 1) · x\\=&(6x^2 + 3x - 8x - 4) · x\\=&(6x^2 - 5x - 4) · x\\=&6x^3 - 5x^2 - 4x\end{aligned}$
【答案】
$6x^3 -5x^2 -4x$
【知识点】
长方体体积公式、多项式乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础应用，核心是掌握多项式乘多项式的运算法则，计算时需注意同类项的合并和符号的处理，整体难度较低。
【难度系数】
0.6
6 教材 P107 练习第 1 题变式 计算：
(1) $(-x+4y)(x-3y)$；
(2) $(x+5y)(x-5y)$；
(3) $(3x^2-2)(x+1)$；
(4) $(2x^2-3x+1)(x-6)$.
(1) $(-x+4y)(x-3y)$；
(2) $(x+5y)(x-5y)$；
(3) $(3x^2-2)(x+1)$；
(4) $(2x^2-3x+1)(x-6)$.
答案
6. (1) $-x^2+7xy-12y^2$ (2) $x^2-25y^2$ (3) $3x^3+3x^2-2x-2$ (4) $2x^3-15x^2+19x-6$
解析
【分析】
本题考查整式的乘法运算，需依据多项式乘多项式法则（用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所得积相加）、平方差公式（$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$）进行计算：
(1) 直接用多项式乘多项式法则展开，合并同类项；
(2) 符合平方差公式结构，用公式简化计算；
(3) 按多项式乘多项式法则逐项相乘后合并同类项；
(4) 多项式乘多项式，逐项相乘后合并同类项，注意符号处理。
【解析】
(1) $(-x+4y)(x-3y)$
$=-x·x + (-x)·(-3y) + 4y·x + 4y·(-3y)$
$=-x^2 + 3xy + 4xy -12y^2$
$=-x^2 +7xy -12y^2$
(2) $(x+5y)(x-5y)$
$=x^2 - (5y)^2$
$=x^2 -25y^2$
(3) $(3x^2-2)(x+1)$
$=3x^2·x +3x^2·1 + (-2)·x + (-2)·1$
$=3x^3 +3x^2 -2x -2$
(4) $(2x^2-3x+1)(x-6)$
$=2x^2·x +2x^2·(-6) + (-3x)·x + (-3x)·(-6) +1·x +1·(-6)$
$=2x^3 -12x^2 -3x^2 +18x +x -6$
$=2x^3 -15x^2 +19x -6$
【答案】
(1) $-x^2+7xy-12y^2$；(2) $x^2-25y^2$；(3) $3x^3+3x^2-2x-2$；(4) $2x^3-15x^2+19x-6$
【知识点】
多项式乘法法则、平方差公式
【点评】
本题为整式运算基础题型，考察多项式乘多项式法则和平方差公式的应用，需熟练掌握运算法则并注意符号处理，是初中代数的核心基础内容。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的乘法运算，需依据多项式乘多项式法则（用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所得积相加）、平方差公式（$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$）进行计算：
(1) 直接用多项式乘多项式法则展开，合并同类项；
(2) 符合平方差公式结构，用公式简化计算；
(3) 按多项式乘多项式法则逐项相乘后合并同类项；
(4) 多项式乘多项式，逐项相乘后合并同类项，注意符号处理。
【解析】
(1) $(-x+4y)(x-3y)$
$=-x·x + (-x)·(-3y) + 4y·x + 4y·(-3y)$
$=-x^2 + 3xy + 4xy -12y^2$
$=-x^2 +7xy -12y^2$
(2) $(x+5y)(x-5y)$
$=x^2 - (5y)^2$
$=x^2 -25y^2$
(3) $(3x^2-2)(x+1)$
$=3x^2·x +3x^2·1 + (-2)·x + (-2)·1$
$=3x^3 +3x^2 -2x -2$
(4) $(2x^2-3x+1)(x-6)$
$=2x^2·x +2x^2·(-6) + (-3x)·x + (-3x)·(-6) +1·x +1·(-6)$
$=2x^3 -12x^2 -3x^2 +18x +x -6$
$=2x^3 -15x^2 +19x -6$
【答案】
(1) $-x^2+7xy-12y^2$；(2) $x^2-25y^2$；(3) $3x^3+3x^2-2x-2$；(4) $2x^3-15x^2+19x-6$
【知识点】
多项式乘法法则、平方差公式
【点评】
本题为整式运算基础题型，考察多项式乘多项式法则和平方差公式的应用，需熟练掌握运算法则并注意符号处理，是初中代数的核心基础内容。
【难度系数】
0.7
7 解方程：$(3x-1)(2x-3)=(6x-5)(x-2)+5.$
答案
7. 原方程可化为 $6x^2-2x-9x+3=6x^2-5x-12x+10+5$.
整理,得 $6x=12$,解得 $x=2$
整理,得 $6x=12$,解得 $x=2$
解析
【分析】
解该方程的思路是：先运用多项式乘多项式法则，将方程左右两边的乘积项展开；再通过移项、合并同类项，把原方程化简为一元一次方程；最后求解一元一次方程得到x的值。
【解析】
原方程左边展开：$(3x - 1)(2x - 3) = 6x^2 - 9x - 2x + 3 = 6x^2 - 11x + 3$；
原方程右边展开并计算：$(6x - 5)(x - 2) + 5 = 6x^2 - 12x - 5x + 10 + 5 = 6x^2 - 17x + 15$；
将左右两边代入原方程得：$6x^2 - 11x + 3 = 6x^2 - 17x + 15$；
移项合并同类项：$6x^2 - 11x - 6x^2 + 17x = 15 - 3$，即$6x = 12$；
系数化为1：$x = 2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
多项式乘法、一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础解方程题型，重点考查多项式展开的计算和一元一次方程的化简求解，计算时需注意同类项合并的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解该方程的思路是：先运用多项式乘多项式法则，将方程左右两边的乘积项展开；再通过移项、合并同类项，把原方程化简为一元一次方程；最后求解一元一次方程得到x的值。
【解析】
原方程左边展开：$(3x - 1)(2x - 3) = 6x^2 - 9x - 2x + 3 = 6x^2 - 11x + 3$；
原方程右边展开并计算：$(6x - 5)(x - 2) + 5 = 6x^2 - 12x - 5x + 10 + 5 = 6x^2 - 17x + 15$；
将左右两边代入原方程得：$6x^2 - 11x + 3 = 6x^2 - 17x + 15$；
移项合并同类项：$6x^2 - 11x - 6x^2 + 17x = 15 - 3$，即$6x = 12$；
系数化为1：$x = 2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
多项式乘法、一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础解方程题型，重点考查多项式展开的计算和一元一次方程的化简求解，计算时需注意同类项合并的准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
8 若 $M=(x-3)(x-4),N=(x-1)(x-6)$ ,则 M 与 N 的大小关系为（
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.由 $x$ 的取值而定
A
）A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.由 $x$ 的取值而定
答案
8. A
解析
【分析】要比较两个代数式M和N的大小，可采用作差法，计算M-N的值，通过判断差的正负来确定M与N的大小关系，具体步骤为：先分别展开M和N，再计算它们的差，化简后根据结果的正负得出结论。
【解析】解：先展开多项式：
$M=(x-3)(x-4)=x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 -7x +12$，
$N=(x-1)(x-6)=x^2 -6x -x +6 =x^2 -7x +6$，
计算M-N：
$M-N=(x^2 -7x +12)-(x^2 -7x +6)=x^2 -7x +12 -x^2 +7x -6=6$，
因为$6＞0$，所以$M-N＞0$，即$M＞N$，故选A。
【答案】A
【知识点】多项式乘法、作差法比较代数式大小
【点评】本题考查代数式大小比较的基础题型，利用作差法结合多项式乘法运算即可快速得出结果，计算过程简单，是学生需掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】解：先展开多项式：
$M=(x-3)(x-4)=x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 -7x +12$，
$N=(x-1)(x-6)=x^2 -6x -x +6 =x^2 -7x +6$，
计算M-N：
$M-N=(x^2 -7x +12)-(x^2 -7x +6)=x^2 -7x +12 -x^2 +7x -6=6$，
因为$6＞0$，所以$M-N＞0$，即$M＞N$，故选A。
【答案】A
【知识点】多项式乘法、作差法比较代数式大小
【点评】本题考查代数式大小比较的基础题型，利用作差法结合多项式乘法运算即可快速得出结果，计算过程简单，是学生需掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
9 [2026 通州期中]若关于 $x$ 的多项式 $(x^2+2x+4)(x+k)$ 展开后不含有一次项,则实数 $k$ 的值为
（
A.$-1$
B.$2$
C.$3$
D.$-2$
（
D
）A.$-1$
B.$2$
C.$3$
D.$-2$
答案
9. D
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的应用，解题思路是先利用多项式乘法法则展开式子并合并同类项，再根据“展开后不含一次项”的条件，即一次项系数为0，建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而选出正确选项。
【解析】
解：先将多项式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x^2+2x+4)(x+k)&=x^3 + kx^2 + 2x^2 + 2kx + 4x + 4k\\&=x^3 + (k+2)x^2 + (2k+4)x + 4k\end{aligned}$
因为展开后不含有一次项，所以一次项的系数为0，即：
$2k + 4 = 0$
解得：$k = -2$
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考查多项式乘法运算及根据项的特征求参数，关键是准确展开多项式并找到对应项的系数，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查多项式乘多项式的应用，解题思路是先利用多项式乘法法则展开式子并合并同类项，再根据“展开后不含一次项”的条件，即一次项系数为0，建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而选出正确选项。
【解析】
解：先将多项式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x^2+2x+4)(x+k)&=x^3 + kx^2 + 2x^2 + 2kx + 4x + 4k\\&=x^3 + (k+2)x^2 + (2k+4)x + 4k\end{aligned}$
因为展开后不含有一次项，所以一次项的系数为0，即：
$2k + 4 = 0$
解得：$k = -2$
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考查多项式乘法运算及根据项的特征求参数，关键是准确展开多项式并找到对应项的系数，难度适中。
【难度系数】
0.6
