7 如图,$AB=AC,CD ⊥ AB,BE ⊥ AC$,垂足分别为 D,E,BE 与 CD 相交于点 F,连接 AF,则图中全等的三角形有（）

A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对

7. D

【分析】要找出图中全等三角形，需结合已知条件AB=AC、CD⊥AB、BE⊥AC，利用全等三角形的判定定理，依次推导对应边、角相等，逐步找出所有全等的三角形，统计对数即可。
【解析】
1. 证明△ABE≌△ACD：

∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠ADC \\ ∠BAE=∠CAD \\ AB=AC \end{array} $

∴ △ABE≌△ACD（AAS）。
2. 证明△ADF≌△AEF：
由△ABE≌△ACD得AD=AE，
在Rt△ADF和Rt△AEF中：
$\{\begin{array}{l} AD=AE \\ AF=AF \end{array} $

∴ Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）。
3. 证明△BDF≌△CEF：

∵ AB=AC，AD=AE，
∴ AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△BDF和△CEF中：
$\{\begin{array}{l} ∠BDF=∠CEF \\ ∠BFD=∠CFE \\ BD=CE \end{array} $

∴ △BDF≌△CEF（AAS）。
4. 证明△ABF≌△ACF：
由△BDF≌△CEF得BF=CF，
在△ABF和△ACF中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC \\ AF=AF \\ BF=CF \end{array} $

∴ △ABF≌△ACF（SSS）。
综上，全等的三角形共有4对。
【答案】D
【知识点】全等三角形判定、直角三角形全等判定
【点评】本题需结合垂直条件、公共角、对顶角等，逐步推导对应边和角相等，找出所有全等三角形，考查全等判定定理的综合应用。
【难度系数】0.5

8 如图,点$D$在$BC$上,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ BC$交$AC$于点$F$,$BD=CF$,$BE=CD$.若$∠ AFD=145^{ \circ }$,则$∠ EDF=$.

8. $55°$ 【解析】$\because DE⊥ AB,DF⊥ BC,\therefore ∠ DEB=∠ FDC=∠ FDB=90°$. $\because ∠ AFD=145°,\therefore ∠ CFD=180°-145°=35°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中, $\begin{cases}BD=CF,\\BE=CD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CFD.\therefore ∠ BDE=∠ CFD=35°.\therefore ∠ EDF=90°-35°=55°.$

【分析】
要解决本题，首先利用邻补角的性质求出∠CFD的度数，再通过直角三角形全等的HL定理证明Rt△BDE与Rt△CFD全等，得到对应角相等，最后结合DF⊥BC的直角关系，计算出∠EDF的度数。具体步骤为：1. 根据邻补角定义算出∠CFD；2. 用HL判定两个直角三角形全等；3. 利用全等三角形对应角相等得到∠BDE，再结合直角∠FDB求出∠EDF。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠DEB = ∠FDC = ∠FDB = 90°（垂直的定义）。
∵ ∠AFD = 145°，且∠AFD + ∠CFD = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠CFD = 180° - 145° = 35°。
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
$\{\begin{array}{l} BD = CF, \\ BE = CD, \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CFD（HL，直角三角形全等判定定理）。
∴ ∠BDE = ∠CFD = 35°（全等三角形的对应角相等）。
又
∵ ∠FDB = 90°，即∠BDE + ∠EDF = 90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠BDE = 90° - 35° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
直角三角形全等判定；邻补角性质；角度计算
【点评】
本题是基础几何题，核心考查直角三角形全等的HL定理、邻补角性质及角度计算，解题关键是通过HL证明三角形全等得到对应角，再结合直角关系推导目标角，整体难度适中，适合初中学生巩固几何基础。
【难度系数】
0.5

9 如图,D 为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$BC$上的一点,且$BD=AB$,过点$D$作$BC$的垂线,与$AC$相交于点$E$.若$AE=12\ \mathrm{cm}$,则$DE$的长为$\mathrm{cm}$.

9. 12

【分析】要计算DE的长度，可通过构造辅助线BE，利用直角三角形全等的判定定理推导。观察图形可知，△ABE和△DBE均为直角三角形，已知AB=BD，且BE为公共斜边，因此可通过HL定理证明两三角形全等，进而得到DE与AE的等量关系，从而求出DE的长。
【解析】连接BE。
∵ ED⊥BC，
∴ ∠EDB=90°，又
∵ △ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴ △ABE和△DBE都是直角三角形。
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
$\{\begin{array}{l}AB=BD \\BE=BE\end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴ DE=AE。
已知AE=12 cm，因此DE=12 cm。
【答案】12
【知识点】直角三角形全等判定；全等三角形性质
【点评】本题考查直角三角形全等的判定与性质，核心是通过公共斜边构造全等三角形，属于基础几何题，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】0.6

10 一题多解 如图，$AD=BC,AB// DC,AB＜DC$. 求证：$∠ DAB=∠ CBA$.

10. 解法一:如图,分别过点 A,B 作 DC 的垂线,垂足为 E,F.
$\because AB// DC,AE⊥ DC,BF⊥ DC,\therefore AE=BF$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 中, $\begin{cases}AD=BC,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BCF.\therefore ∠ DAE=∠ CBF$. $\because AE⊥ DC,AB// DC,\therefore AE⊥ AB$. 同理,可得 $BF⊥ AB$. $\therefore ∠ EAB=∠ FBA=90°$. $\therefore ∠ DAE+∠ EAB=∠ CBF+∠ FBA$,即 $∠ DAB=∠ CBA$
解法二: $\because AB// DC,AB≠ DC,AD=BC,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是等腰梯形. $\therefore ∠ DAB=∠ CBA$(等腰梯形同一底上的两个角相等)

【分析】要证明∠DAB=∠CBA，已知AB//DC且AD=BC，AB＜DC，可知四边形ABCD是等腰梯形。可通过两种思路：一是作梯形的高，构造直角三角形，利用HL证明全等，结合直角相等推导目标角；二是直接利用等腰梯形同一底上的角相等的性质。
【解析】
解法一：如图，分别过点A、B作DC的垂线，垂足为E、F。
∵ AB//DC，AE⊥DC，BF⊥DC，
∴ AE=BF（平行线间的距离相等）。
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
$\begin{cases}AD=BC,\\AE=BF,\end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴ ∠DAE=∠CBF。
∵ AE⊥DC，AB//DC，
∴ AE⊥AB，即∠EAB=90°，同理可得∠FBA=90°，
∴ ∠DAE+∠EAB=∠CBF+∠FBA，即∠DAB=∠CBA。
解法二：
∵ AB//DC，AB≠DC，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是等腰梯形，
∴ ∠DAB=∠CBA（等腰梯形同一底上的两个角相等）。
【答案】10. 解法一:如图,分别过点 A,B 作 DC 的垂线,垂足为 E,F.
∵ AB// DC,AE⊥ DC,BF⊥ DC,
∴ AE=BF. 在 Rt△ADE 和 Rt△BCF 中, $\begin{cases}AD=BC,\\AE=BF,\end{cases}$
∴ Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴ ∠DAE=∠CBF.
∵ AE⊥ DC,AB// DC,
∴ AE⊥ AB. 同理,可得 BF⊥ AB.
∴ ∠EAB=∠FBA=90°.
∴ ∠DAE+∠EAB=∠CBF+∠FBA,即 ∠DAB=∠CBA；解法二:
∵ AB// DC,AB≠ DC,AD=BC,
∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形.
∴ ∠DAB=∠CBA(等腰梯形同一底上的两个角相等)
【知识点】等腰梯形性质、全等三角形判定
【点评】本题为一题多解的几何证明题，既可以通过作辅助线构造全等三角形推导结论，也可直接运用等腰梯形的性质，考察了梯形的分类及全等三角形的应用，能帮助学生巩固几何知识，拓展解题思路。
【难度系数】0.6

11 (易错题) 如图, $A D$ 是 $△ A B C$ 的高, $E$ 为 $A C$ 上一点, $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$, 且 $B F=A C, F D=C D$.试判断 $B E$ 与 $A C$ 的位置关系.

11. $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的高, $\therefore ∠ BDF=∠ ADC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BDF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases}BF=AC,\\FD=CD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ ADC.\therefore ∠ DBF=∠ DAC$. $\because ∠ DAC+∠ C=∠ BDF=90°,\therefore ∠ AEB=∠ DBF+∠ C=90°.\therefore BE⊥ AC$

【分析】要判断BE与AC的位置关系，先根据AD是高得到两个直角，再利用已知的斜边和直角边条件，通过直角三角形全等的HL判定定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，最后结合直角三角形两锐角互余的性质，转换角的关系推出BE与AC垂直。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°，即△BDF和△ADC均为直角三角形。在Rt△BDF和Rt△ADC中，$\begin{cases} BF=AC \\ FD=CD \end{cases}$，根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△BDF≌Rt△ADC。
∴∠DBF=∠DAC。又
∵在Rt△ADC中，∠DAC + ∠C = 90°，
∴∠DBF + ∠C = 90°。在△BEC中，∠BEC = 180° - (∠DBF + ∠C) = 90°，
∴BE⊥AC。
【答案】BE⊥AC
【知识点】直角三角形全等判定（HL），垂直的判定，直角三角形性质
【点评】本题为易错题，核心考查直角三角形全等的应用及垂直关系的推导，关键是利用HL证全等，再通过角的转换得到垂直，需注意对应角的关系，避免混淆。
【难度系数】0.5

12 如图,$AD$ 是$△ ABC$ 的中线,$BE ⊥ AD$,垂足为$E$,$CF ⊥ AD$,交 $AD$ 的延长线于点 $F$,$G$ 是 $DA$ 延长线上一点,连接 $BG$.
(1) 求证:$BE=CF$;
(2) 若 $BG=CA$,求证:$AG=2DE$.

12. (1) $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BD=CD$. $\because BE⊥ AD,CF⊥ AD,\therefore ∠ BED=∠ F=90°$. 在 $△ BED$ 和 $△ CFD$ 中,
$\begin{cases}∠ BED=∠ F,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CFD.\therefore BE=CF$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BGE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAF$ 中, $\begin{cases}BG=CA,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BGE≌\mathrm{Rt}△ CAF$.
$\therefore GE=AF.\therefore GE-AE=AF-AE$,即 $AG=EF$. $\because △ BED≌△ CFD,\therefore DE=DF$. $\because EF=DE+DF=2DE,\therefore AG=2DE$

【分析】
第(1)问要证BE=CF，观察图形可知BE、CF分别在△BED和△CFD中，结合AD是中线得BD=CD，再由BE⊥AD、CF⊥AD得两个直角相等，还有对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明两三角形全等，从而得到BE=CF；第(2)问要证AG=2DE，先利用(1)的结论BE=CF，结合已知BG=CA，通过HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得到GE=AF，推出AG=EF，再由△BED≌△CFD得DE=DF，进而得到EF=2DE，即可证得AG=2DE。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠F=90°。
在△BED和△CFD中，
$\begin{cases}∠BED=∠F, \\∠BDE=∠CDF, \\BD=CD,\end{cases}$
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF。
(2) 证明：由(1)知BE=CF，
在Rt△BGE和Rt△CAF中，
$\begin{cases}BG=CA, \\BE=CF,\end{cases}$
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE=AF。
∴GE - AE = AF - AE，即AG=EF。
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴EF=DE + DF=2DE，
∴AG=2DE。
【答案】
(1) BE=CF的证明见解析；(2) AG=2DE的证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、直角三角形全等的判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质，需熟练掌握AAS、HL等判定定理，利用中线、垂直的条件构造全等三角形，理清线段间的等量关系是解题关键。
【难度系数】
0.6