10.(2024·昆山期末)在平面直角坐标系中,把点 $P(3,a-1)$ 向下平移 5 个单位长度得到点 $Q(3,2-2b)$,则代数式$\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+3$ 的值为.

10.5

11. (2024·灌云县期末)如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(-4,3)$,$B(-2,4),C(-1,1)$. 若$△ ABC$向右平移 5 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度得到$△ A'B'C'$,点$A,B,C$的对应点分别为$A',B',C'$.
(1)写出点$A',B',C'$的坐标:$A'$,$B'$,$C'$;
(2)在图中画出平移后的$△ A'B'C'$;
(3)求出$△ ABC$的面积.

11.(1)(1,0) (3,1) (4,-2)
(2)解:如答图所示,$△ A'B'C'$即为所作。
(3)解:$S_{△ ABC}=3×3-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×1×2=9-3-\frac{3}{2}-1=\frac{7}{2}$.

12. (2024·吴江区期末)如图,在平面直角坐标系中,$A(0,2),B(3,0),C(6,4)$.
(1)将$△ ABC$向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,在方格纸中画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$.$△ ABC$内有一点$P(a,b)$,则平移后它的对应点$P_{1}$的坐标是.
(2)$△ ABC$的面积为.
(3)在$y$轴上是否存在点$M$,使$△ AMC$的面积等于$△ ABC$的面积的2倍? 若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.

12.(1)解:$△ A_1B_1C_1$如答图所示。 $P_1(a+3,b-4)$
(2)9
(3)解:存在. 设$M(0,m)$,则$AM=|m-2|$.
$\because△ AMC$的面积等于$△ ABC$的面积的2倍,
$\therefore\frac{1}{2}×6×|m-2|=2×9$,
解得$m=8$或$m=-4$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(0,8)$或$(0,-4)$.