10. (2023·荆州)已知关于$ x $的一元二次方程$ kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0 $有两个不相等的实数根.
（1）求$ k $的取值范围；
（2）当$ k = 1 $时，用配方法解方程.

解：（1）由题意，得$\Delta =[-(2k + 4)]^{2}-4k(k - 6)＞0，$且$k\neq0$ 展开$[-(2k + 4)]^{2}$得$(2k + 4)^{2}=4k^{2}+16k + 16$ 则$4k^{2}+16k + 16-4k^{2}+24k＞0$ 合并同类项得$40k+16＞0$ 移项得$40k＞-16$ 解得$k＞-\frac{2}{5}$且$k\neq0$ （2）当$k = 1$时，原方程为$x^{2}-(2\times1 + 4)x+1 - 6 = 0，$即$x^{2}-6x - 5 = 0$ 配方：$x^{2}-6x+9=5 + 9，$即$(x - 3)^{2}=14$ 开平方得$x - 3=\pm\sqrt{14}$ 解得$x_1=3+\sqrt{14}，$$x_2=3-\sqrt{14}$

11. (2023·如皋期末)某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用20 m长的篱笆和如图所示的直角墙角(涂色部分，两边足够长)围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，AD两边).
(1) 若花园的面积为$75\ \mathrm{m}^2$，求AB的长.
(2) 若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12 m，现要将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积能否为$100\ \mathrm{m}^2$？若能，求AB的长；若不能，请说明理由.

解：（1）设$AB$的长为$x\ m。$依题意，得$x(20 - x)=75$ 整理得$x^{2}-20x + 75 = 0$ 因式分解得$(x - 5)(x - 15)=0$ 则$x - 5 = 0$或$x - 15 = 0$ 解得$x_1=5，$$x_2=15$ 所以$AB$的长为$5\ m$或$15\ m$ （2）不能
理由：设$AD$的长为$y\ m。$假设将这棵树围在矩形花园内，花园的面积能为$100\ m^{2}，$则$y(20 - y)=100$ 整理得$y^{2}-20y + 100 = 0$ 由完全平方公式得$(y - 10)^{2}=0$ 解得$y_1=y_2=10$ 因为$10＜12，$所以将这棵树围在矩形花园内，花园的面积不能为$100\ m^{2}$

12. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，若满足$|x_1-x_2|=1$，则此类方程称为“差根方程”. 根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下面的方程是否是“差根方程”：
① $x^2 - 4x - 5 = 0$；
② $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.
（2）已知关于$x$的方程$x^2 + 2ax = 0$是“差根方程”，求$a$的值.
（3）若关于$x$的方程$ax^2 + bx + 1 = 0(a,b$是常数，$a＞0)$是“差根方程”，请探索$a$与$b$之间的数量关系.

解：（1）①设$x_1，$$x_2$是一元二次方程$x^{2}-4x - 5 = 0$的两个实数根 由韦达定理得$x_1 + x_2 = 4，$$x_1x_2=-5$ 则$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}=\sqrt{4^{2}-4\times(-5)}=\sqrt{16 + 20}=\sqrt{36}=6$ 所以方程$x^{2}-4x - 5 = 0$不是“差根方程” ②设$x_1，$$x_2$是一元二次方程$2x^{2}-2\sqrt{3}x + 1 = 0$的两个实数根 由韦达定理得$x_1 + x_2=\sqrt{3}，$$x_1x_2=\frac{1}{2}$ 则$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-4\times\frac{1}{2}}=\sqrt{3 - 2}=1$ 所以方程$2x^{2}-2\sqrt{3}x + 1 = 0$是“差根方程” （2）解方程$x^{2}+2ax = 0，$提取公因式$x$得$x(x + 2a)=0$ 则$x = 0$或$x + 2a = 0$ 解得$x_1=0，$$x_2=-2a$ 因为关于$x$的方程$x^{2}+2ax = 0$是“差根方程”，所以$|-2a|=1$ 解得$a=\pm\frac{1}{2}$ （3）设$x_1，$$x_2$是一元二次方程$ax^{2}+bx + 1 = 0(a,b$是常数，$a＞0)$的两个实数根 由韦达定理得$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}，$$x_1x_2=\frac{1}{a}$ 因为关于$x$的方程$ax^{2}+bx + 1 = 0(a,b$是常数，$a＞0)$是“差根方程”，所以$|x_1 - x_2|=1$ 则$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}=1，$即$\sqrt{(-\frac{b}{a})^{2}-4\cdot\frac{1}{a}}=1$ 两边同时平方得$\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{4}{a}=1$ 等式两边同时乘以$a^{2}$得$b^{2}-4a=a^{2}$ 所以$b^{2}=a^{2}+4a$