1. 将多项式$3a + 6a^2b$进行因式分解，得到的结果是().

A.$3a(1+2ab)$
B.$3a(1+ab)$
C.$3a(1-ab)$
D.$3a(1-2ab)$

1. A

【分析】
本题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者结合就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
要对多项式$3a + 6a^2b$因式分解，首先确定公因式：
1. 系数部分：3和6的最大公因数是3；
2. 字母部分：两项都含有字母$a$，且$a$的最低次数为1，因此公因式为$3a$。
提取公因式$3a$可得：
$3a + 6a^2b = 3a × 1 + 3a × 2ab = 3a(1 + 2ab)$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，只要熟练掌握公因式的确定方法，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9

2. 把多项式$m^2(a-2)+m(2-a)$分解因式的结果是().

A.$(a-2)(m^2+m)$
B.$(a-2)(m^2 - m)$
C.$m(a-2)(m-1)$
D.$m(a-2)(m+1)$

2. C

【分析】
解题时首先观察多项式的两项，发现含有互为相反数的因式(a-2)和(2-a)，先将(2-a)变形为-(a-2)，统一两项的公因式；再找出各项的公因式，使用提公因式法分解因式，最后注意分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止，结合选项判断即可。
【解析】
第一步，统一多项式中相反的因式：
∵ $2-a=-(a-2)$，
∴ 原式可变形为：$m^2(a-2) - m(a-2)$。
第二步，提取公因式：
观察变形后的式子，两项的公因式为$m(a-2)$，提取公因式后得：
$m(a-2)(m - 1)$。
第三步，验证分解彻底性：$m$、$(a-2)$、$(m-1)$均为不能再分解的整式，分解完成，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，整式恒等变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的核心是正确处理互为相反数的多项式因式，提取公因式后要注意检查是否分解到不能再分解，避免误选未分解完全的干扰项。
【难度系数】
0.8

3. 已知 $ x(y - 1) + (\_\_\_\_\_\_) = (y - 1)(x + 3) $，若括号内所填的式子记为A，则 $ A = \_\_\_\_\_\_ $。

3. 3y-3

【分析】
要求式子A，我们可以根据等式的基本性质，将A单独移到等式一侧，得到$A=(y - 1)(x + 3)-x(y - 1)$，再通过整式的乘法、加减运算化简，就能求出A的结果。
【解析】
根据题意可得：
$A=(y - 1)(x + 3)-x(y - 1)$
我们可以用提取公因式的方法简化计算：
观察到两个整式都含有公因式$(y-1)$，提取公因式后可得：
$A=(y - 1)(x + 3 - x)$
化简括号内的部分：$x+3-x=3$
因此$A=3(y - 1)=3y - 3$
也可以通过展开多项式验证：
先展开$(y - 1)(x + 3)=xy - x + 3y - 3$，再减去$x(y-1)=xy - x$，去括号合并同类项后同样得到$A=3y-3$。
【答案】
$3y - 3$
【知识点】
1. 整式的混合运算 2. 提取公因式法化简
【点评】
本题是基础运算类题目，解题核心是通过等式变形将未知代数式转化为整式的差，既可以按常规展开运算求解，也可以用提取公因式的方法简化计算，主要考查学生对整式运算法则的熟练程度。
【难度系数】
0.8

4.分解因式：
(1)$-2x^2 + 32x$；
(2)$6x(x + y) - 4y(x + y)$；
(3)$a(x - a) + b(a - x) - c(x - a)$。

解 (1) $-2x^2 + 32x = -2x(x - 16)$。
(2)$6x(x + y) - 4y(x + y) = 2(x + y)(3x - 2y)$。
(3)$a(x - a) + b(a - x) - c(x - a) = (x - a)(a - b - c)$。

【分析】
这三道因式分解题均使用提公因式法求解，解题思路清晰：①先观察多项式各项的公共因式，若首项系数为负，通常提取负号保证括号内首项系数为正；②若存在形式相似、符号不同的因式（如第(3)问的$a-x$和$x-a$），先通过符号变形统一为相同因式；③确定公因式后，将各项除以公因式得到剩余因式，合并整理即可完成分解。
【解析】
(1) 多项式$-2x^2 + 32x$的公因式为$-2x$，提取公因式得：
$\begin{aligned}-2x^2 + 32x&=-2x· x + (-2x)· (-16)\\&=-2x(x - 16)\end{aligned}$
(2) 多项式$6x(x + y) - 4y(x + y)$的公因式为$2(x+y)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}6x(x + y) - 4y(x + y)&=2(x+y)· 3x + 2(x+y)· (-2y)\\&=2(x + y)(3x - 2y)\end{aligned}$
(3) 先将中间项变形：$a-x=-(x-a)$，原式改写为$a(x - a) - b(x - a) - c(x - a)$，公因式为$(x-a)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}a(x - a) - b(x - a) - c(x - a)&=(x - a)(a - b - c)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-2x(x - 16)$
(2) $2(x + y)(3x - 2y)$
(3) $(x - a)(a - b - c)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的运用，解题核心是准确识别公因式，遇到符号不同的同类因式时要先统一形式，提取公因式时需注意符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

5. 把多项式$-8a^{2}b^{3}c + 16a^{2}b^{2}c^{2} - 24a^{3}bc^{3}$因式分解,应提的公因式是().

A.$-8a^{2}bc$
B.$2a^{2}b^{2}c^{3}$
C.$-4abc$
D.$24a^{3}b^{3}c^{3}$

5. A

【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循三步法思考：第一步先确定系数：找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项为负，公因式的系数习惯带负号；第二步确定公共字母：找出各项都含有的相同字母；第三步确定字母的指数：取相同字母的最低次幂，最后组合得到公因式再匹配选项即可。
【解析】
1. 定系数：多项式各项系数为-8、16、-24，系数绝对值的最大公约数是8，且首项符号为负，因此公因式的系数为-8；
2. 定字母：观察各项都含有的相同字母为a、b、c；
3. 定指数：a的次数在各项中分别为2、2、3，最低次幂为$a^2$；b的次数在各项中分别为3、2、1，最低次幂为$b$；c的次数在各项中分别为1、2、3，最低次幂为$c$；
综上，公因式为$-8a^2bc$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步判断法即可快速解题，注意首项为负时公因式通常带负号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

6. 如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则$a^2b + ab^2$的值为().

A.24
B.70
C.40
D.140

6. B 解析 由题意，得 2(a + b) = 14，ab=10，
∴a + b =7，
∴$a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 10×7 =70$，
故选 B。

【分析】
首先根据长方形的周长、面积公式，先求出$a+b$与$ab$的值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现可以通过提取公因式$ab$进行因式分解，将其变形为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，可简化计算。
【解析】
根据题意可得：
长方形周长：$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$；
长方形面积：$ab=10$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
将$a+b=7$，$ab=10$代入上式得：
原式$=10×7=70$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，长方形周长与面积计算，代数式求值
【点评】
本题解题的关键是利用因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，采用整体代入的思想计算，避免了求解$a$、$b$的具体值，减少了运算量，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.8

7.先分解因式，再求值：
$4a(b-2)+3a(2-b)^2$，其中$a=\dfrac{3}{2}$，$b=6$。

解 $4a(b-2)+3a(2-b)^2$
$=4a(b-2)+3a(b-2)^2$
$=(b-2)[4a+3a(b-2)]$
$=(b-2)(4a-6a+3ab)$
$=(b-2)(3ab-2a)$
$=a(b-2)(3b-2)$，
当 $a=\dfrac{3}{2},b=6$ 时，原式$=\dfrac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)=\dfrac{3}{2}×4×16=96$。

【分析】
解题时先观察式子结构，发现两项中分别含有$(b-2)$和$(2-b)^2$，根据偶次幂的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，即$(2-b)^2=(b-2)^2$，先统一公因式的形式；再找出两项的公因式$a(b-2)$，用提公因式法对原式因式分解，化简为最简整式乘积形式后，再代入$a$、$b$的数值计算，可大幅简化运算，降低计算出错概率。
【解析】
解：$4a(b-2)+3a(2-b)^2$
$=4a(b-2)+3a(b-2)^2$
$=a(b-2)[4+3(b-2)]$
$=a(b-2)(4+3b-6)$
$=a(b-2)(3b-2)$
当$a=\dfrac{3}{2}$，$b=6$时，代入化简后的式子得：
原式$=\dfrac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)$
$=\dfrac{3}{2}×4×16$
$=96$
【答案】
$96$
【知识点】
提公因式法，代数式求值，偶次幂性质
【点评】
本题重点考察因式分解在代数式求值中的实用价值，先因式分解再代值能有效减少计算量，解题时需注意区分互为相反数的奇偶次幂的符号规律，提取公因式时要检查是否漏项，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.7

8. 如图，$△ ABC$是某小区的一块空地，现要加以绿化，其中点$O$是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即$OD＝OE＝OF＝m$.$a,b,c$为$△ ABC$的三边$BC,AC,AB$的长，现测得$m＝8.48\ \mathrm{m}$，$a＝41\ \mathrm{m},b＝34\ \mathrm{m},c＝25\ \mathrm{m}$.
(1)这块空地的面积用含$a,b,c,m$的代数式表示为________.
(2)利用因式分解求这块空地的面积.

8. 解 (1) $\dfrac{1}{2}ma + \dfrac{1}{2}mb + \dfrac{1}{2}mc$
(2) $S_{空地} = \dfrac{1}{2}ma + \dfrac{1}{2}mb + \dfrac{1}{2}mc = \dfrac{1}{2}m(a + b + c)$。
当 $m=8.48\ \mathrm{m},a=41\ \mathrm{m},b=34\ \mathrm{m},c=25\ \mathrm{m}$ 时，
原式$=\dfrac{1}{2}×8.48×(41+34+25)=424(\mathrm{m}^2)$。
故这块空地的面积为 $424\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
(1) 要求△ABC的面积，观察到点O到三边距离均为m，可通过连接OA、OB、OC，将大三角形分割为△OBC、△OAC、△OAB三个小三角形，每个小三角形的高都是m，底分别对应△ABC的三边a、b、c，分别计算三个小三角形的面积再求和，即可得到空地总面积的代数式。
(2) 第一问得到的代数式每一项都含有公因式$\frac{1}{2}m$，先提取公因式进行因式分解，再代入数值计算，能大幅简化运算过程，减少计算量。
【解析】
(1) 连接OA、OB、OC，将△ABC拆分为3个小三角形：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× BC × OD=\frac{1}{2}ma$，
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× AC × OE=\frac{1}{2}mb$，
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× AB × OF=\frac{1}{2}mc$，
因此空地总面积$S = S_{△ OBC}+S_{△ OAC}+S_{△ OAB}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$。
(2) 对上述代数式提取公因式$\frac{1}{2}m$因式分解得：
$S=\frac{1}{2}m(a+b+c)$，
将$m=8.48\ \mathrm{m}$，$a=41\ \mathrm{m}$，$b=34\ \mathrm{m}$，$c=25\ \mathrm{m}$代入：
先算$a+b+c=41+34+25=100$，
再代入得$S=\frac{1}{2}×8.48×100=424(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$
(2) $424\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
三角形面积计算，提公因式法因式分解，割补法求面积
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了分割法求解图形面积以及因式分解在简化运算中的应用，解题核心是将整体面积转化为多个规则小图形的面积和，再通过因式分解简化计算步骤，属于基础方法的综合应用题。
【难度系数】
0.8